Geometry of tropical curves and application to real algebraic geometry
Lionel Lang · Archive ouverte UNIGE (University of Geneva) · 2014
Dans cette thèse, on s'intéresse aux questions d'approximabilité des courbes complexes tropicales par des familles de courbes algébriques complexes. La motivation de telles questions provient de la correspondance étroite entre géométries algébriques et tropicales des courbes planaires et de ses applications en géométrie énumérative et en géométrie algébrique réelle. Dans ce travail, on généralise des théorèmes d'approximation principalement dus à Mikhalkin. On étend notamment le cadre algébrique classique au cadre d'applications harmoniques comme suggéré par le travaux de Krichever. Cette approche permet une plus grande flexibilité que celle offerte dans le cadre algébrique. Les méthodes employées apportent une preuve originale d'un théorème déjà existant ainsi que sa généralisation aux dimensions supérieures. Dans un second temps, on applique les résultats obtenus pour classifier et construire des classes de courbes algébriques réelles très spéciales : les courbes de Harnack. Mises en lumière par Mikhalkin, ces courbes ont été intensément étudiées durant la dernière décennie. Elles vérifient des propriétés de maximalité à plusieurs égards, et proviennent de manifestation physiques intéressantes. On en propose ici une généralisation naturelle, dont on montre les premières propriétés. On fournit des méthodes de construction explicites donnant lieu à de nouveaux exemples. Finalement, on étend les théorèmes de classification et les propriétés déjà connues au premier cas de cette généralisation.