Generating Isostatic Frameworks
Tiong-Seng Tay, Walter J. Whiteley · LA Referencia (Red Federada de Repositorios Institucionales de Publicaciones Científicas) · 1985
La littérature d’ingénierie renferme bon nombre de techniques pour construire de grandes charpentes statiquement rigides à partir de plus petites. Malheureusement, certains de ces principes sont erronés, et d’autres sont incertains. De telles techniques sont devenues des outils inductifs importants dans les travaux mathématiques récents sur les charpentes. Cet article propose un nouvel algorithme qui générerait les graphes de toutes les charpentes isostatiques (statiquement rigides et minimales) dans l’espace, en fournissant des démonstrations de plusieurs de ces techniques et des contre-exemples des techniques erronées, et en mettant en évidence les conjectures qui couvriraient toutes les charpentes spatiales. \t\t\t\t Puisque le problème spatial est complexe et qu’il n’est pas encore complètement résolu, l’article débute par un ensemble complet de regles à suivre pour générer les graphes de toutes les charpentes isostatiques en plan. De tels graphes sont générés à partir d’une seule arête selon une suite de Henneberg de graphes qui croissent par l’addition d’un sommet 2-valent et la substitution d’un sommet 3-valent à une arête. Dans l’espace, les principes valides permettent d’abord l’addition d’un sommet 3-valent et la substitution d’un sommet 4-valent à une arête. Une récente conjecture de Graver suggère une description complète du cas des sommets 5-valents - (i) deux arêtes non adjacentes devraient être échangées pour un sommet 5-valent et (ii) un sommet 5-valent devrait être substitué simultanément à deux paires d’arêtes adjacentes bien choisies sur deux graphes autrement identiques. Tout graphe d’une charpente isostatique dans l’espace est généré par un arbre de Henneberg de telles opérations, et nous conjecturons que seuls de tels graphes sont produits. Les résultats spatiaux connus sont illustrés par une demonstration combinatoire d’un théorème de Gluck stipulant que tous les graphes triangulés sur la \t\t\t\t sphère produisent des charpentes isostatiques dans l’espace.