Effective methods for multilinear birational transformations and contributions to polynomial data analysis
Pablo González-Mazón · 2023
Méthodes effectives pour les transformations birationnelles multilinéaires et contributions à l'analyse polynomiale de données Cette thèse explore deux sujets distincts à l'intersection de l'algèbre commutative, de la géométrie algébrique, de l'algèbre multilinéaire et de la modélisation géométrique :1. L'étude et la construction effective des transformations birationnelles multilinéaires 2. L'extraction d'informations à partir de données discrètes à l'aide de modèles polynomiaux. La partie principale de ce travail est consacrée aux transformations birationnelles multilinéaires.Une transformation birationnelle multilinéaire est une transformation rationnelle phi : (mathbb{P}^1)^n dashrightarrow{} mathbb{P}^n, définie par des polynômes multilinéaires, qui admet une transformation rationnelle inverse.Les transformations birationnelles entre espaces projectifs constituent un sujet d'étude important de la géométrie algébrique, initié par les travaux fondateurs de Cremona, qui a connu des avancées significatives au cours des dernières décennies.Plus récemment, les transformation birationnelles multiprojectives, c'est-à-dire définies par des polynômes multi-homogènes, ont récemment suscité un regain d'intérêt, motivé notamment par l'étude des structures multigraduées en algèbre commutative et leurs applications pratique en modélisation géométrique.Dans la première partie, nous étudions les aspects algébriques et géométriques des transformations birationales multilinéaires.Nous nous concentrons principalement sur les transformations birationnelles trilinéaires phi : (mathbb{P}^1)^3 dashrightarrow{} mathbb{P}^3 dont nous établissons une classification en fonction de la structure algébrique de leur espace, du lieu base, et des résolutions libres graduées minimales de l'idéal engendré par les polynômes de définition.En outre, nous développons les premières méthodes qui permettent de construire et de manipuler des transformations birationnelles non linéaires en dimension 3 avec une flexibilité suffisante pour les applications visées en modélisation géométrique.De plus, nous établissons une caractérisation de la birationalité basée sur le rang de tenseurs, qui permet de construire efficacement et ouvre la voie à l'application des outils de l'algèbre tensorielle à la birationnalité.Nous étendons également nos résultats aux transformations birationnelles multilinéaires en dimension arbitraire, dans le cas où il existe un inverse multilinéaire.Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur l'application des polynômes à l'analyse des données discrètes.Nous nous attaquons à deux problèmes distincts.Tout d'abord, nous dérivons des bornes pour la taille des (1-epsilon)-nets pour les ensembles de non-négativité de polynômes réels.Nos résultats nous permettent d'étendre le théorème classique du point central aux inégalités polynomiales de degré supérieur.Ensuite, nous abordons la classification des cylindres réels qui passent par cinq points qui sont tels que quatre d'entre eux sont cocycliques, c'est-à-dire qu'ils se trouvent sur un cercle.Il s'agit d'un cas particulier de problèmes plus généraux que sont la classification des racines réelles des systèmes de polynômes réels et l'extraction de primitives algébriques à partir de données brutes.