Quasi-orders, C-groups, and the differentiel rank of a differential-valued field
Gabriel Lehéricy · 2018
Quasi-ordres, C-groupes, et rang différentiel d’un corps différentiel valué Cette thèse a pour objet les ordres, les valuations et les C-relations sur les groupes, ainsi que les corps différentiels valués tels qu’étudiés par Rosenlicht. Elle accomplit trois objectifs principaux. Le premier est d’introduire et d’étudier une notion de quasi-ordre sur les groupes qui a pour but de réunir les ordres et les valuations dans un même cadre. Nous donnons un théorème de structure des groupes munis d’un tel quasi-ordre, ce qui nous permet ensuite de donner un “théorème de plongement de Hahn” pour ces groupes. Le second objectif de cette thèse est de décrire les C-groupes à l’aide des quasi-ordres. Nous donnons un théorème de structure pour les C-groupes, qui énonce que tout C-groupe est un “mélange” de groupes ordonnés et de groupes valués. Nous utilisons ensuite ce résultat pour caractériser les groupes C-minimaux à l’intérieur de la classe des C-groupes. Le troisième objectif de cette thèse est d’introduire et d’étudier une notion de rang différentiel d’un corps différentiel valué. Nous définissons cette notion par analogie avec les notions de rang exponentiel d’un corps exponentiel et de rang de différence d’un corps aux différences. Nous montrons que cette notion de rang n’est pas tout à fait satisfaisante, et introduisons donc une meilleure notion de rang appelée le rang différentiel déployé. Nous donnons ensuite une méthode pour définir une dérivation “de type Hardy” sur un corps de séries formelles généralisées, ce qui nous permet de construire des corps différentiels valués dont le rang différentiel et le rang différentiel déployé ont été arbitrairement choisis.