Classical realizability and side effects
Étienne Miquey · 2017
Réalisabilité classique et effets de bord Cette thèse s'intéresse au contenu calculatoire des preuves classiques, et plus spécifiquement aux preuves avec effets de bord et à la réalisabilité classique de Krivine. Le manuscrit est divisé en trois parties, dont la première consiste en une introduction étendue des concepts utilisés par la suite. La seconde partie porte sur l’interprétation calculatoire de l’axiome du choix dépendant en logique classique. Ce travail s'inscrit dans la continuité du système dPAω d'Hugo Herbelin, qui permet d’adapter la preuve constructive de l’axiome du choix en théorie des types de Martin-Löf pour en faire une preuve constructive de l’axiome du choix dépendant dans un cadre compatible avec la logique classique. L'objectif principal de cette partie est de démontrer la propriété de normalisation pour dPAω, sur laquelle repose la cohérence du système. La difficulté d'une telle preuve est liée à la présence simultanée de types dépendants (pour la partie constructive du choix), d'opérateurs de contrôle (pour la logique classique), d'objets co-inductifs (pour "encoder" les fonctions de type N → A par des streams (a₀,a₁,...)) et d'évaluation paresseuse avec partage (pour ces objets co-inductifs). Ces difficultés sont étudiées séparément dans un premier temps. En particulier, on montre la normalisation du call-by-need classique (présenté comme une extension du λµµ̃-calcul avec des environnements partagé), en utilisant notamment des techniques de réalisabilité à la Krivine. On développe ensuite un calcul des séquents classique avec types dépendants, définie comme une adaptation du λµµ̃-calcul, dont la correction est prouvée à l'aide d'une traduction CPS tenant compte des dépendances. Enfin, une variante en calcul des séquents du système dPAω est introduite, combinant les deux points précédents, dont la normalisation est finalement prouvée à l'aide de techniques de réalisabilité. La dernière partie, d'avantage orientée vers la sémantique, porte sur l’étude de la dualité entre l’appel par nom (call-by-name) et l’appel par valeur (call-by-value) dans un cadre purement algébrique inspiré par les travaux autour de la réalisabilité classique (et notamment les algèbres de réalisabilité de Krivine). Ce travail se base sur une notion d'algèbres implicatives développée par Alexandre Miquel, une structure algébrique très simple généralisant à la fois les algèbres de Boole complètes et les algèbres de réalisabilité de Krivine, de manière à exprimer dans un même cadre la théorie du forcing (au sens de Cohen) et la théorie de la réalisabilité classique (au sens de Krivine). Le principal défaut de cette structure est qu’elle est très orientée vers le λ-calcul, et ne permet d’interpréter fidèlement que les langages en appel par nom. Pour remédier à cette situation, on introduit deux variantes des algèbres implicatives les algèbres disjonctives, centrées sur le “par” de la logique linéaire (mais dans un cadre non linéaire) et naturellement adaptées aux langages en appel par nom, et les algèbres conjonctives, centrées sur le “tenseur” de la logique linéaire et adaptées aux langages en appel par valeur. On prouve en particulier que les algèbres disjonctives ne sont que des cas particuliers d'algèbres implicatives et que l'on peut obtenir une algèbre conjonctive à partir d'une algèbre disjonctive (par renversement de l’ordre sous-jacent). De plus, on montre comment interpréter dans ces cadres les fragments du système L de Guillaume Munch-Maccagnoni en appel par valeur (dans les algèbres conjonctives) et en appel par nom (dans les algèbres disjonctives).