EDPs pour les réseaux neuronaux avec états internes
Elena Ambrogi · theses.fr (ABES) · 2024
Dans le contexte des neurosciences mathématiques, le modèle Intègre et Tire jouit sans aucun doute d'une grande renommée et d'une vaste littérature. Cependant, sa structure mathématique particulière, avec des termes non locaux, des mécanismes de sauts ou de diffusion partielle, combinée à la coprésence possible de différentes échelles temporelles, rend l'étude de cette équation difficile et toujours ouvert. Le modèle classique consiste en une équation qui décrit la dynamique d'un réseau neuronal en fonction du potentiel de membrane des cellules. Un réseau peut être interconnecté par des liens excitateurs ou inhibiteurs, ou déconnecté, auquel cas l'équation sera linéaire. Nous nous intéressons au comportement asymptotique de ces réseaux dans le cas linéaire, où des outils mathématiques tels que les méthodes d'entropie et integrale et la théorie de Harris ont été utiles pour démontrer la convergence vers l'état stationnaire. Dans la première extension du modèle classique d'Intègre et Tire que nous proposons, nous remplaçons la condition de bord ponctuelle par un terme non local, en introduisant un paramètre aléatoire. Pour ce nouveau système, nous prouvons la convergence en temps long au moyen de la théorie de Harris et de l'entropie relative avec une inégalité de Poincaré indépendante du paramètre aléatoire. De plus, nous étudions la convergence asymptotique des solutions de ce modèle vers celles du modèle classique. Dans la deuxième extension, nous traitons de l'ajout d'une variable pour le courant d'adaptation. Nous étudions d'abord la dynamique de cette variable seule, en analysant la régularité de la solution stationnaire en fonction des paramètres et le comportement asymptotique à l'aide des différentes méthodes de l'entropie relative avec argument de compacité et de la méthode intégrale. Nous étudions ensuite le comportementasymptotique du modèle bidimensionnel au moyen de simulations numériques et nous nous proposons des comparaisons avec une équation de Fokker-Planck similaire avec diffusion partielle et nonlinéarité. Un certain nombre de simulations numériques accompagnent l'étude de chaque modèle analysé, ce qui permet d'étayer ou d'anticiper les résultats théoriques.