Fixed point approximation methods for nonexpansive mappings: Optimization problems.
Victoria Martín Márquez · 2010
Numerosos problemas en diferentes areas de las matematicas pueden ser reformulados como un problema de punto fijo de una aplicacion no expansiva, Por ejemplo, dado un operador monotono en un espacio de Banach, es conocido que el operador resolvente asociado es una aplicacion no expansiva cuyo conjunto de puntos fijos coinciden con el conjunto de ceros del operador monotono. Igualmente, el operador complementario de una aplicacion no expansiva es monotono y su conjunto de ceros es el conjunto de puntos fijos de la aplicacion. La conexion existente entre la teoria del punto fijo y la teoria de operadores monotonos permite establecer equivalencias entre un problema de punto fijo para aplicaciones no expansivas y otros problemas como por ejemplo la busqueda de una solucion de una desigualdad variacional, un minimizante de una funcion convexa o un punto de silla de un problema minimax. Motivado por las anteriores aplicaciones, el estudio de metodos iterativos para la aproximacion de puntos fijos de aplicaciones no expansivas en espacios de Banach ha adquirido una gran relevancia en los ultimos anos, especialmente en el caso particular de los espacios de Hilbert. Entre los algoritmos iterativos investigados hasta hoy, cabe destacar los siguientes: - La iteracion de Mann, cuyo esquema algoritmico consiste en definir la nueva iterada como la combinacion convexa de la iterada anterior y su imagen por la aplicacion no expansiva. - La iteracion de Halpern, cuya formula recursiva viene dada por la combinacion convexa de un punto arbitrario y la imagen de la iterada anterior por la aplicacion no expansiva. Ambos algoritmos, en sus formulas implicitas y explicitas, han sido ampliamente estudiados y siguen siendo el objeto de investigacion de muchos trabajos. A pesar del gran numero de resultados en cuanto a la convergencia de estos algoritmos, aun existen importantes problemas abiertos referentes a las propiedades geometricas del espacio, hipotesis sobre la aplicacion no expansiva u otros aspectos como el comportamiento asintotico de la sucesion de constantes de la combinacion convexa. Un importante campo de aplicacion de estos metodos es claramente la aproximacion de ceros de un operador monotono. Otro ejemplo es el uso de la teoria de aproximacion del punto fijo para resolver problemas de viabilidad convexa como es el caso del problema multiple-sets split feasibility que consiste en encontrar un punto perteneciente a la interseccion de una familia finita de conjuntos cerrados y convexos cuya imagen por una aplicacion lineal pertenece a la interseccion de otra familia finita de conjuntos cerrados y convexos. Este problema constituye una via para enfocar problemas de otras disciplinas cientificas como la reconstruccion de imagenes o la terapia con radiacion de intensidad modulada. Esta extensa teoria que tiene como objeto de estudio las aplicaciones no expansivas y los operadores monotonos ha sido desarrollada principalmente en el marco de los espacios de Banach. Recientemente algunos conceptos y tecnicas propias de los espacios vectoriales lineales han sido extendidos al marco mas general de los espacios metricos. En concreto, en variedades de Riemann, el estudio de metodos iterativos para resolver problemas de optimizacion, desigualdades variacionales y la busqueda de ceros de operadores monotonos ha sido el centro de investigacion de muchos trabajos. Especialmente en variedades de Hadamard, que son aquella que tienen curvatura negativa y como consecuencia presentan muy buenas propiedades geometricas. En esta tesis, se estudian los problemas que aparecen en la conexion entre las teorias de operadores monotonos y aplicaciones no expansivas tanto en espacios lineales como no lineales. En el Capitulo 1, presentamos diferentes enfoques para aproximar puntos fijos de aplicaciones de tipo no expansivo definidas en espacios de Banach. En el Capitulo 2, desarrollamos una teoria de operadores monotonos y aplicaciones no expansivas en variedades de Hadamard, extendiendo resultados de la teoria clasica conocida en espacios de Hilbert.