Extrinsic estimates of eigenvalues for the Laplacian with Wentzel boundary condition
Ndiaye, Aïssatou Mossèle · 2025
À la mémoire de mon cher et regretté papa RésuméCes travaux de recherche portent sur l'étude des valeurs propres de l'opérateur de Laplace avec les conditions au bord de Wentzel, données par β∆ Γ u + ∂ n u = λu pour β ⩾ 0, ainsi que celles du Laplacien à densité, en fonction de la géométrie du domaine dans lequel ces problèmes sont posés.Le problème de Wentzel sur des domaines euclidiens est bien connu et même dans le cadre plus général des variétés riemanniennes.Lorsque le coefficient β = 0, la condition au bord se réduit à la condition de Steklov ∂ n u = λu.Pour estimer les valeurs propres de Wentzel-Laplace en fonction de la géométrie, nous établirons des bornes supérieures, asymptotiquement optimales au sens de la loi de Weyl.Les premières estimations obtenues ici s'expriment en termes d'indice d'intersection du bord dans le cas euclidien, et de quantités géométriques extrinsèques dans le cadre riemannien.Pour un domaine compact Ω, à bord non vide et suffisamment régulier Γ , dans une variété riemannienne complète de dimension n, ces quantités interviennent dans une constante B(Ω, β) telle que, pour tout k ∈ N, les valeurs propres satisfont :où ζ n est une constante dépendant uniquement de la dimension, et κ ∈ R ⩾0 est la plus petite constante telle que la courbure de Ricci est minorée par -(n -1)κ 2 .Si la variété M a une courbure de Ricci non négative, alors :où A(Ω), B(Ω) et C(Ω, β) sont des constantes dépendant de la géométrie de Ω, avec A(Ω) et B(Ω) indépendantes de β.Un autre résultat important que nous établissons montre que le rapport isopérimétrique permet de contrôler l'ensemble du spectre du problème de Wentzel-Laplace dans diverses variétés.Ces estimations sont particulièrement intéressantes dans la mesure où le rapport isopérimétrique d'un domaine est moins affecté par certaines « petites » déformations que des quantités géométriques telles que la courbure ou l'indice d'intersection du bord.Les méthodes de preuve consistent à construites des décompositions bien appropriées de l'espace métrique mesuré associé au domaine, en fonction de la concentration volumique de la métrique riemannienne.Des domaines disjoints sont alors utilisés comme supports de fonctions tests bien choisies, permettant de borner les valeurs propres en utilisant la caractérisation du min-max.Ces résultats sont des conséquences d'inégalités plus précises -cependant un peu techniques -démontrées au fil de ce texte.Concernant le Laplacien é densité, on considère une variété riemannienne compacte, VI Resume connexe (M, g), avec d M la forme volume associée à g, puis on s'intéresse à l'opérateurdéfini pour α ⩾ 0 et h ∈ C 2 (M), sur M muni de la mesure pondérée dm := e -h d M .La question que nous explorons ici est celle de l'existence de bornes supérieures pour les valeurs propres de L h dans (M, dm).Nous montrons que ces valeurs propres ne sont pas bornées lorsque α > 1. Pour la démonstration, une suite de densités est construite, de sorte que leurs premières valeurs propres non nulles deviennent relativement grandes.Ce résultat est motivé et donne une réponse à une conjecture par des travaux antérieurs pour les valeurs de α entre 0 et 1.Mots-clés : conditions de Wentzel, problème de Steklov, opérateur de Laplace-Beltrami, Laplaciens à densité, bornes sur les valeurs propres, variétés riemanniennes, géométrie spectrale, inégalités isopérimétriques, méthodes min-max, espaces métriques mesurés.