C^*-algebras related to k-automatic sequences
Yifeng Ye · Scientia Sinica Mathematica · 2025
作为周期函数的推广, $k$-自动序列在数论和理论计算机中有着重要的应用. 特别地, $k$-幂有限函数是指取值于复数域$\mathbb{C}$的$k$-自动序列, 全体$k$-幂有限函数构成了$\ell^\infty(\mathbb{N})$的 加法平移不变的 $^*$-子代数. 我们证明了对任意 $k \geqslant 2$, $k$-幂有限函数生成的 $C^*$-代数 的极大理想空间同胚于Cantor 三分集$\mathcal{C}$的一个不可数的紧子集. 我们研究了两种特殊的 $k$-幂有限函数, 证明了 $\ell^\infty(\mathbb{N})$ 中由周期函数生成的 $C^*$-代数的极大理想空间同胚于Cantor三分集 $\mathcal{C}$; 由最终周期函数生成的 $C^*$-代数的极大理想空间具有可数个孤立点, 且聚点集 同胚于 Cantor三分集 $\mathcal{C}$. 相应的结果可以推广到和residually finite群有关的 $C^*$-代数. 此外, 我们给出了零熵算术函数不能被 $k$-幂有限函数一致逼近的例子.