Estimation de modèles tensoriels structurés et récupération de tenseurs de rang faible
José Henrique de Morais Goulart · theses.fr (ABES) · 2016
Dans la première partie de cette thèse, on formule deux méthodes pour le calcul d'une décomposition polyadique canonique avec facteurs matriciels linéairement structurés (tels que des facteurs de Toeplitz ou en bande): un algorithme de moindres carrés alternés contraint (CALS) et une solution algébrique dans le cas où tous les facteurs sont circulants. Des versions exacte et approchée de la première méthode sont étudiées. La deuxième méthode fait appel à la transformée de Fourier multidimensionnelle du tenseur considéré, ce qui conduit à la résolution d'un système d'équations monomiales homogènes. Nos simulations montrent que la combinaison de ces approches fournit un estimateur statistiquement efficace, ce qui reste vrai pour d'autres combinaisons de CALS dans des scénarios impliquant des facteurs non-circulants. La seconde partie de la thèse porte sur la récupération de tenseurs de rang faible et, en particulier, sur le problème de reconstruction tensorielle (TC). On propose un algorithme efficace, noté SeMPIHT, qui emploie des projections séquentiellement optimales par mode comme opérateur de seuillage dur. Une borne de performance est dérivée sous des conditions d'isométrie restreinte habituelles, ce qui fournit des bornes d'échantillonnage sous-optimales. Cependant, nos simulations suggèrent que SeMPIHT obéit à des bornes optimales pour des mesures Gaussiennes. Des heuristiques de sélection du pas et d'augmentation graduelle du rang sont aussi élaborées dans le but d'améliorer sa performance. On propose aussi un schéma d'imputation pour TC basé sur un seuillage doux du coeur du modèle de Tucker et son utilité est illustrée avec des données réelles de trafic routier