Numerical analysis of multiscale methods for elliptic-parabolic problems with application in the cell dynamics during the formation of colorectal cancer
Geovan Carlos Mendonça Campos · 2021
O cólon humano é propício ao desenvolvimento de câncer devido à possibilidade de ocorrerem mutações na intensa atividade de renovação celular que consiste em um alto número de divisões celulares por dia, localizadas em pequenas cavidades chamadas de criptas.O epitélio do cólon é formado por milhões de criptas e é conhecido que mutações no processo de proliferação (dentro das criptas) podem conduzir à carcinogênese.A dinâmica de células colônicas pode ser modelada usando multiescalas (FIGUEIREDO et al., 2013).Em particular, nós podemos usar uma cripta de referência como um domínio microescala, que é periodicamente distribuído em um domínio macroescala, onde este é associado a uma porção do epitélio do cólon.O modelo final resulta em um sistema de EDPs acoplado formado por um problema elítico e um outro parabólico nos quais as variáveis são a densidade de células proliferativas e a pressão celular exercida.Apresentamos o processo de homogenização desse sistema de equações supondo a existência de uma expansão assintótica da solução e das demais funções que compõem o problema, veja (CIORANESCU; DONATO, 1999).Aplicamos um método de resolução multiescala baseado em elementos finitos (HMM-FEM) para aproximar a solução homogenizada encontrado em alguns trabalhos como (ABDULLE, 2009;ABDULLE, 2012;ABDULLE;HUBER, 2014).No cenário onde o problema é acoplado e não linear, a implementação de métodos se torna mais robusta computacionalmente, portanto optamos por resolver primeiro o problema elítico e depois o parabólico como uma forma de amenizar essa complexidade.Em uma única escala, estudamos estabilidade e convergência de um esquema supraconvergente baseado em diferenças finitas centradas para malhas não uniformes que é equivalente à um esquema baseado em elementos finitos.Em um cenário mais simplificado, estudamos convergência e estabilidade do método apresentado.Já para um caso mais geral provamos, para s " 1, 2, ordem Oph s q de convergência para a solução e gradiente se a solução exata está em H 1`s pΩq, veja (FERREIRA; BARBEIRO; GRIGORIEFF, 2005).Para o problema homogenizado, apresentamos uma estratégia supraconvergente que permite aproximar a solução do problema homogenizado acoplado, onde numericamente obtemos uma ordem de convergência quadrática Por fim, apresentamos um método para resolver problemas multiescala usando dos bons resultados de convergência discutidos acima.Esse modelo é baseado em um problema microescala que posteriormente será usado para construir uma solução macroescala para o sistema homogenizado.Os primeiros indícios de convergência surgem dos resultados numéricos obtidos.