Variational methods in image processing
Ali Haddad, Yves Meyer · Contemporary mathematics - American Mathematical Society · 2007
L'objet de cette thèse est d'étudier les propriétés mathématiques de quelques modèles utilisés entraitement d'image. Suivant S. J. Osher, L. Rudin et E. Fameti, nous décomposons une image f de L en une somme u+v où u appartient à un espace de Banach fonctionnel E et v appartient à L . L'espace E doit modéliser les objets contenus dans l'image et la décomposition optimale minimise l'énergie J(u)=||u||_E+\\lambda||f-u||^2_2. La difficulté majeure est de choisir un espace E adapté. Les choix classiques sont E=\\dot{B}^{1,1}_1(\\R^2), qui conduit au célèbre "wavelet thresholding" de Donoho, ou E=BV(\\R^2), l'espace des fonctions à variations bornées. Le dernier choix définit l'algorithme d'Osher-Rudin-Fatemi. Ces deux choix ont des défauts. Le premier efface les bords nets. Le second ne conduit pas à un seuillage des coefficients d'ondelettes. Nous proposons alors de prendre E=\\B1inf(\\R^2), qui conserve les bords nets et conduit à un seuillage des coefficients d'ondelette. Ce sont les deux premières parties de la thèse. Dans la troisième partie, nous étudions les propriétés mathématiques de l'algorithme 'Osher-Vese qui traite mieux les composantes texturées.