A semigroup of theories and its lattice of idempotent elements
M. I. Bekenov, Anvar M. Nurakunov · Algebra i logika · 2021
 â å ä å í è å Ïóñòü σ ñèãíàòóðà, T (σ) ìíîæåñòâî âñåõ òåîðèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ÿçûêà σ.Íà ìíîæåñòâå T (σ) îïðåäåëèì áèíàðíóþ îïåðàöèþ {•} ïî ïðàâèëó T • S = Th ({A × B | A |= T è B |= S}), äëÿ ëþáûõ äâóõ òåîðèé T, S ∈ T (σ).Ëåãêî âèäåòü, ÷òî T (σ); • ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíîé ïîëóãðóïïîé, íàçîâ¼ì å¼ ïîëóãðóïïîé òåîðèé.Äëÿ ïîëíûõ òåîðèé ýòà îïåðàöèÿ èñïîëüçîâàëàñü â [1℄, ãäå äîêàçàíî, ÷òî ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñòàáèëüíûõ (ñóïåðñòàáèëüíûõ, ω-ñòàáèëüíûõ) òåîðèé ÿâëÿåòñÿ ñòàáèëüíîé (ñóïåðñòàáèëüíîé, ω-ñòàáèëüíîé) òåîðèåé, ò. å. ìíîæåñòâî âñåõ ñòàáèëüíûõ (ñóïåðñòàáèëüíûõ, ω-ñòàáèëüíûõ) òåîðèé îáðàçóåò ïîäïîëóãðóïïó ïîëóãðóïïû T (σ); • .Òåîðèÿ T íàçûâàåòñÿ èäåìïîòåíòíîé, åñëè T • T = T .Ïî òåîðåìå Âîòà (ñì.òåîð.1.4 íèæå) êëàññ âñåõ ñòðóêòóð, óäîâëåòâîðÿþùèõ èäåìïîòåíòíîé òåîðèè T , çàìêíóò îòíîñèòåëüíî ëþáûõ ïðÿìûõ ïðîèçâåäåíèé íåïóñòîãî ìíîæåñòâà ñòðóêòóð.Îäíàêî, ñóùåñòâóþò àêñèîìàòèçèðóåìûå êëàññû ñòðóêòóð, çàìêíóòûå îòíîñèòåëüíî ïðÿìûõ ïðîèçâåäåíèé íåïóñòûõ ìíîæåñòâ ñòðóêòóð, òåîðèè êîòîðûõ íå ÿâëÿþòñÿ èäåìïîòåíòíûìè.