Extremal doubly-even self-dual codes and related designs(a survey)(Theory and Applications of Combinatorial Designs with Related Field)
昌晃 原田 · Kyoto University Research Information Repository (Kyoto University) · 2006
本講演では extremal doubly-even self-duai code とそれらに関係した design についての survey を行なった.本原稿では, 講演内容を簡単にまとめておく.ページ数の制限もあっ て全ての結果に証明を付けることは出来ないので, 講演中に紹介したものを中心に証明を 与えることにする.一般的によく使われている用語を用いているが, 紹介していない用語 については $[11_{\mathit{1}}\rceil, [12])[14],$ $[21]$ などを見ていただきたい.本原稿の構成は以下の通りである.第 2 節では doubly-even self-dual code の weight enumerator の基本的な性質を述べて, 代数的符号理論における非常に有名な結果である Gleason の定理を紹介する.また Gleason の定理から導かれる幾つかの結果を述べる. 特 {こ doubly-even self-dual code の minimum weight に関する上限を与え extremal を定義 する.第 3 節では, まず extremal doubly-even seif-dual code の非存在の結果を紹介する.この結果も Gleason の定理から導かれる結果の一つである.その後 doubly-even self-duaI code の分類に関する結果および extremal doubly-even self-dual code の存在について現時 点で知られていることをそれぞれ表にまとめる.これらに関する問題も与えることにする.第 4 節では extremal doubly-even self-dual code に関係した design について考えていく.まず Assmus-Mattson の定理を紹介し, これを用いて長さが $24m$ の場合には各 weight の codeword が 5-design になることを示す.さらにこの 5-design と同じパラメータをもつ self-orthogonal design の incidence matrix の行が生成する code が extremal doubly-even self-dual code になるか, という問題を考える.現在のところ $m\leq 4$ までは正しいことが 分かっているが, ここでは $m=1$ の場合の証明を与える.なお self-dual code についての survey としては $\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{s}-$ .Sloane によるものがある [21].