Liquid-like behaviour of shape memory alloys
Georg Dolzmann, Bernd Kirchheim · 2002
In this note, we prove that the identity matrix is an inner point of the quasiconvex hull Kqc of a compact set K ⊂ {X ∈ M3,3 : detX = 1} whenever Kqc contains a three-well configuration. This is in particular the case for the cubic to tetragonal and the cubic to orthorhombic phase transformations, and answers a question discussed in [5]. Comportement liquide d’alliages a memoire de forme Resume. Dans cette note, nous demontrons que la matrice identite est un point interieur de l’envelope quasiconvexe Kqc d’un ensmble compact K ⊂ {X ∈ M3,3 : detX = 1} lorsque Kqc contient une configuration de type triple puits. Ceci est le cas en particulier pour les transformations de phase de cubique tetragonal et de cubique orthorhombique, et repond une question discutee dans [5]. Version francaise abregee Lors d’experiences de traction, des alliages memoire de forme subissant une transformation de phase solide-solide presentent un reponse elastique molle pour des taux de deformation faibles. Dans le cadre de modeles pour de tels materiaux, bases sur des integrales variationelles avec une densite d’energie libre positive adequate W , la gamme de comportements idealement mous est caracterisee par l’envelope quasiconvexe Kqc de l’ensemble nul K de W (voir par exemple [1, 6] pour les notations importantes). Notre principal resultat indique que la matrice identite est un point interieur de l’envelope quasiconvexe pour la transition de phase de cubique vers tetragonal, moyennant la contrainte que les deformations preservent le volume, ce qui decoule du fait que les phases sont liees par symetries. Ce resultat predit un comportement liquide du materiau, c’est--dire que le materiau ne resiste pas aux deformations petites. Plus generalement, nous demontrons le theoreme suivant : Theoreme 1. Soit K ⊂ {X ∈ M3,3 : detX = 1} un compact et supposons que Kqc contienne une configuration de type triple-puits (1) avec α > 0. Alors Id ∈ rel intKqc. L’ingredient principal pour demontrer ce resultat est une subtile separation de la matrice X ∈ M 2,2. Proposition 2. Soit X ∈ M2,2 tel que ‖X−Id‖ < √2/3. Alors il existe quatre vecteurs ui, vi ∈ R2, i = 1, 2, tels que i) det(X + tui ⊗ vi) = detX pour t ∈ R ; ii) X − ui ⊗ vi est conforme, c’est--dire que X − ui ⊗ vi = √ detX Ri avec Ri ∈ SO(2) ; iii) |〈u1,u2〉| ≤ |u1||u2|/2, c’est--dire que l’angle entre u1 et u2 est uniformement borne inferieurement. Date: 3rd July 2002. 1991 Mathematics Subject Classification. 74N15.