Block bootstrap methods for functional time series
Dimitrios Pilavakis · Gnosis · 2019
Η ανάλυση συναρτησιακών δεδομένων είναι ένας ταχέως αναπτυσσόμενος τομέας έρευνας στην στατιστική που ασχολείται με τη στατιστική ανάλυση απειροδιάστατων (συναρτησιακών) δεδομένων. Επομένως, είναι σημαντικό να επεκταθεί η θεωρία και οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την στατιστική ανάλυση πεπερασμένης διάστασης δεδομένων και στην περίπτωση των δεδομένων άπειρης διάστασης. Η διατριβή αυτή εφαρμόζει τις μεθόδους} bootstrap σε συναρτησιακά δεδομένα τα οποία υποθέτουμε ότι είναι ασθενώς εξαρτημένα με μια ευρεία έννοια και βασίζεται σε δύο κύριους πυλώνες. Ο πρώτος πυλώνας αυτής της διατριβής ασχολείται με την συνέπεια του moving block και του tapered block bootstrap όταν οι μέθοδοι αυτοί εφαρμόζονται σε συναρτησιακές χρονοσειρές. Πιο συγκεκριμένα, στην διατριβή αυτή, αποδεικνύονται κεντρικά οριακά θεωρήματα για το moving block και το tapered block bootstrap που αφορούν τον δειγματικό μέσο όρο. Επίσης αποδεικνύεται ότι αυτές οι διαδικασίες αναδειγματοληψίας παρέχουν συνεπείς εκτιμήτριες του τελεστή συνδιακύμανσης της μέσης συνάρτησης του δείγματος, δηλαδή της φασματικής πυκνότητας της υπό εξέταση συναρτησιακής διαδικασίας, σε μηδενική συχνότητα. Επίσης, αποδεικνύεται ένα κεντρικό οριακό θεώρημα για το moving block bootstrap εφαρμοζόμενο στον δειγματικό τελεστή συνδιακύµασης σε h χρονικές υστερήσεις. Ο δεύτερος πυλώνας ασχολείται με την εφαρμογή μεθοδολογιών που βασίζονται σε μεθόδους bootstrap για τον έλεγχο υποθέσεων σχετικά με την ισότητα ορισμένων χαρακτηριστικών των κατανομών, ανεξάρτητων πληθυσμών, βασιζόμενοι σε συναρτησιακές χρονοσειρές. Συγκεκριμένα, προτείνουμε αλγόριθμους που βασίζονται τοσο στο moving block οσο και στο tapered block bootstrap για το σημαντικό πρόβλημα του στατιστικου ελεγχου της ισότητας των μέσων συναρτήσεων πολλών πληθυσμών. Προτείνουμε επίσης μια διαδικασία που βασίζεται στο moving block bootstrap για τον έλεγχο της ισότητας του τελεστή συνδιακύμανσης μεταξύ διαφόρων ανεξάρτητων συναρτησιακών πληθυσμών. Η βασική ιδέα πίσω από τις προτεινόμενες διαδικασίες για τον στατιστικό έλεγχο είναι να προσαρμόσουμε τις τεχνικές αναδειγματοληψίας με τέτοιο τρόπο έτσι ώστε οι δημιουργηθείσες ψευδο-παρατηρήσεις να ικανοποιούν την μηδενική υπόθεση του έλεγχου. Έτσι, οι προτεινόμενοι αλγόριθμοι που βασίζονται στις μεθόδους των block bootstrap είναι εφαρμόσιμες σε ένα ευρύ φάσμα πιθανών ελεγχοσυνάρτησων. Αποδείξαμε την εγκυρότητα των προτεινόμενων μεθόδων στην προσέγγιση των κατανομών κάποιων ελεγχοσυναρτήσεων κάτω από το μηδένικη υποθεση. Η αποτελεσματικότητα των προτεινόμενων διαδικασιών, εφαρμοσμένες σε ένα πεπερασμένο δείγμα, διερευνάται μέσω προσομοιώσεων. Προσομοιώσεις διεξάγονται επίσης για να ελέγξουμε το επίπεδο σημαντικότητας και την ισχύ των προτεινόμενων μεθοδολογιών στατιστικού έλεγχου οι οποίες βασίζονται σε bootstrap διαδικασίες. Τέλος, εξετάζεται η αποτελεσματικότητα των προτεινόμενων διαδικασιών στατιστικού έλεγχου εφαρμόζοντας τες σε δεδομένα από την πραγματική ζωή.