THE UNIFORM KORN- POINCARE INEQUALITY IN THIN DOMAINS
Dans Les, Domaines Minces, Marta Lewicka, Stefan Müller · 2008
We study the Korn–Poincaré inequality: \|u\|_{W^{1,2}(S^{h})}\leq C_{h}\left\|D(u)\right\|_{L^{2}(S^{h})}, in domains S^{h} that are shells of small thickness of order h , around an arbitrary compact, boundaryless and smooth hypersurface S in \mathbf{R}^{n} . By D(u) we denote the symmetric part of the gradient ∇u , and we assume the tangential boundary conditions: u \cdot \overrightarrow n^{h} = 0\:\text{on }\partial S^{h}. We prove that C_{h} remains uniformly bounded as h\rightarrow 0 , for vector fields u in any family of cones (with \text{angle} < \pi / 2 , uniform in h ) around the orthogonal complement of extensions of Killing vector fields on S . We show that this condition is optimal, as in turn every Killing field admits a family of extensions u^{h} , for which the ratio \|u^{h}\|_{W^{1,2}(S^{h})}/ \|D(u^{h})\|_{L^{2}(S^{h})} blows up as h\rightarrow 0 , even if the domains S^{h} are not rotationally symmetric. Résumé On étudie lʼinégalité de Korn–Poincaré : \|u\|_{W^{1,2}(S^{h})}\leq C_{h}\left\|D(u)\right\|_{L^{2}(S^{h})}, dans les domaines S^{h} de type des coques dʼépaisseurs dʼordre h autour dʼune hypersurface compacte sans bord et regulière S de \mathbf{R}^{n} . Par D(u) , on réfère à la partie symétrique du gradient ∇u et on suppose la condition au bord : u \cdot \overrightarrow n^{h} = 0\:\text{on }\partial S^{h}. On démontre que C_{h} reste uniformément borné car h\rightarrow 0 , pour tout champ de vecteurs dans une famille de cônes donnée (faisant un \text{angle} < \pi / 2 , uniforme en h ) autour du complément orthogonal des extensions de champs de vecteurs de Killing sur S . On montre que cette condition est optimale comme tout champ de Killling u sur S admet une famille dʼextensions u^{h} sur S^{h} pour lesquelles le rapport \|u^{h}\|_{W^{1,2}(S^{h})}/ \|D(u^{h})\|_{L^{2}(S^{h})} tend à lʼinfini comme h\rightarrow 0 , même si les S^{h} ne possèdent pas de symmetrie axiale.