On boundary values of functions with finite Dirichlet integral
Jindřich Nečas · Applications of Mathematics · 1960
In dieser Arbeit werden die Bedingungen für eine Funktion, welche am Rande eines Gebietes definiert ist, angegeben, die ihre Fortsetzung auf das ganze Gebiet erlauben; diese Fortsetzung hat ein endliches Dirichlet'sches Integral.1. EINLEITUNG Die Theorie der Grenzwerte von Funktionen, die ein endliches Dirichlet'sche-Integral 1 ) haben, ist zur Zeit mehr oder weniger abgeschlossen.Die wichtigs sten Arbeiten aus diesem Gebiet sind die Arbeiten von S. M. NIKOLSKIJ, T. I. AMANOV, E. GAGLIARDO, G. PRODI, L. N. SLOBODECKIJ U. V. M. BABIC, L. de VITA, G. FREUD U. D. KRÄLIK.Die Möglichkeit der Fortsetzung einer Funktion, die am Rande des Gebietes definiert ist, auf eine Funktion, mit beschränktem Dirichlet'schen Integral, hat in der Variationsrechnung ent scheidende Bedeutung.Wenn wir nämlich die Lösung einer elliptischen Gleichung zweiten Grades Du -0 bei vorgeschriebener Bedingung u = f am Rande suchen, dann kann z.Bsp.die Variationsmethode der orthogonalen Projektion theoretisch und die Methode von Ritz numerisch nur dann ange wendet werden, wenn / auf das ganze Gebiet so fortsetzbar ist, dass sie ein beschränktes Dirichlet'sches Integral hat. 2. ABLEITUNG DER BEDINGUNGEN FÜR DIE RANDFUNKTION Wir werden nur ebene einfach zusammenhängende Gebiete Q untersuchen,, deren Rand eine stetige rektifizierbare Kurve von der Länge 2TZ ist.Wir werden weiter voraussetzen, dass einfach zusammenhängende Gebiete Q t *) In der französischen und italienischen Literatur wird jetzt für diese Randwerte, der Begriff "Spur" eingeführt.