Numerical estimate and calculation of eigenvalues for nonsymmetric matrices
Friedrich Ludwig Bauer · Applications of Mathematics · 1965
Eigenwertaufgaben mit nichtsymmetrischen Matrizen kommen glücklicherweise in der Praxis nicht so häufig vor wie diejenigen mit symmetrischen, insbesondere mit symmetrischen, positiv definiten Matrizen 1 ).Wir sagen glücklicherweise, denn die numerische Behandlung des nichtsymmetrischen Eigenwertproblems ist weitaus schwieriger; man darf sagen, daß in voller Allgemeinheit noch kein absolut befrie digendes Verfahren angegeben werden kann.Wir werden versuchen, einige Gründe für diese Situation anzugeben und damit, dem Charakter des Symposiums entsprechend, die Problematik aufzuzeigen, sowie einige mögliche Wege zur Lösung.Im ersten Abschnitt werden wir untersuchen, wie sich der Fortfall kennzeichnender Eigenschaften symmetrischer Matrizen auswirkt.Im zweiten Abschnitt werden wir im Zusammenhang mit der Empfindlichkeit der Eigenwerte gegen Störungen der Matrix einige grundsätzliche Überlegungen zur Genauigkeitsuntersuchung in der Numerischen Mathematik wiedergeben.Im dritten Abschnitt werden wir das Problem behandeln, aus guten Approximationen für die Eigenvektoren strenge Abschätzungen für die Eigenwerte zu erhalten.Im letzten Abschnitt schließlich werden wir auf die Approximation der Eigenwerte durch ein Newtonverfahren eingehen und zeigen, daß die sogenannte LR-Transformation mit Nullpunktverschiebung eng mit dieser Aufgabe zusammenhängt. 1. BESONDERHEITEN DES EIGEN WERTPROBLEMS MIT NICHTSYMMETRISCHEN MATRIZEN Symmetrische Matrizen besitzen drei Eigenschaften, die für die numerische Be handlung des Eigenwertproblems von großer Bedeutung sind: es treten nur reelle Eigenwerte auf, es existiert ein vollständiges System gegenseitig orthogonaler Eigen vektoren und das Eigenwertproblem ist stets optimal konditioniert.Keine der drei Eigenschaften ist für nichtsymmetrische Matrizen gewährleistet, insbesondere fehlen i ) Wir beschränken uns auf den Fall reeller Matrizen, die Übertragung auf das Komplexe ist sinngemäß zu verstehen.