From uniqueness results to reconstruction and characterization algorithms in discrete tomography
Silvia M.C. Pagani · 2016
La tomografia e una tecnica usata per ottenere informazioni su oggetti che non sono direttamente accessibili. Le ricostruzioni tomografiche hanno un’ampia gamma di applicazioni, dalla medicina all’industria, dalla cristallografia a molte altre aree di ricerca. La tomografia e nata grazie al lavoro di Johann Radon, che pubblico nel 1917 un articolo teorico riguardante la ricostruzione di una funzione partendo dai suoi integrali di linea. Questo risultato fu poi sfruttato da Allan McLeod Cormack e Godfrey Newbold Hounsfield, che progettarono e costruirono il primo scanner, basato sull’uso della radiazione a raggi X lungo un certo numero di direzioni. Cio permise loro di vincere il premio Nobel per la Medicina nel 1979 e rappresento l’inizio dell’utilizzo della Tomografia Assiale Computerizzata (TAC) nella diagnostica medica. Quando si cerca di adattare i risultati teorici al mondo reale, si deve modificare il modello continuo, introducendo diversi passi di discretizzazione. Cio porta alla tomografia discreta, dove la parola ``discreta” si riferisce sia alla discretizzazione dell’immagine, che e vista come un insieme di pixel, sia al numero discrete (e finito) di direzioni e densita utilizzate. La tomografia discreta e l’argomento di questa tesi. Uno dei principali obiettivi della tomografia e l’unicita di ricostruzione. Il problema tomografico, infatti, e mal posto, a causa della presenza dei cosiddetti ghost, immagini non nulle con somma zero lungo le direzioni considerate, che di conseguenza possono essere aggiunti ad una soluzione in modo da ottenere un’altra soluzione. Qualche tipo di conoscenza a priori viene sfruttata per abbassare il numero di possibili soluzioni. Ad esempio, si puo supporre di conoscere il numero di livelli di grigio che costituiscono l’oggetto da ricostruire (fino al caso limite rappresentato da due soli livelli, bianco e nero, per le immagini binarie). Inoltre, si puo circoscrivere il problema tomografico dentro una griglia finita di lato noto, o, anche, si possono conoscere altre caratteristiche dell’oggetto, come la convessita o l’appartenenza ad una particolare classe. Questa tesi si focalizza sugli aspetti teorici ed algoritmici della tomografia discreta, legati principalmente al problema dell’unicita, per produrre algoritmi di ricostruzione e di caratterizzazione. Gli algoritmi di ricostruzione sono applicati alle immagini binarie, sia senza altre caratteristiche (utilizzando particolari insiemi di quattro direzioni) sia nel caso dei poliomini hv-convessi, per i quali vengono considerate situazioni particolari, cioe proiezioni affette da rumore e la presenza di una componente bloccante. In quest’ultimo caso, viene fornito un algoritmo di ricostruzione anche per la sottoclasse dei poliomini L-convessi. D’altra parte, viene caratterizzato un sottoinsieme dell’insieme dei pixel di una funzione a valori interi univocamente determinati, e tale caratterizzazione dipende solo dall’insieme di direzioni considerato. Per entrambi i tipi di algoritmi vengono forniti simulazioni ed esperimenti.