Accuracy of regularized differential operators for discontinuity localization in 1-D and 2-D intensity functions
Heiko Neumann, Karsten Ottenberg, H. Siegfried Stiehl · 1990
For the purpose of theoretically assessing the performance of differential operators for computational discontinuity localization, we investigate here the localization capability of regularized first and second order differential operators given a variety of continuous image structure. For the 1-D case, we are concerned with mathematical notations for common models of one-dimensional intensity functions for which we analyze the performance of different operators with respect to their intrinsic localization error. For the 2-D case, we propose the scalable cylinder model of curved intensity variations as a generalization of both the 1-D step and the ramp edge model. In particular, we analyze the intrinsic localization error of the Laplacian operator (with the Laplacian of Gaussian as the regularized filter kernel), and the first as well as the second order directional derivative (with the corresponding derivative of the Gaussian as the regularized filter kernel) for different parametrizations of the cylinder model (e.g. radius and scale of discontinuity). Novel results from analytical and numerical solutions will be presented and discussed for both the 1-D and the 2-D case. Mit dem Ziel einer Beurteilung der Performanz von Differentialoperatoren zur Lokalisation von Diskontinuitaten in ein- und zweidimensionalen Signalen, wird in dieser Arbeit die Lokalisationsgenauigkeit von regularisierten Differentialoperatoren 1. und 2. Ordnung fur eine Reihe von prototypischen kontinuierlichen (Bild-)Strukturen theoretisch untersucht. Fur den eindimensionalen Fall betrachten wir fur allgemeine, in der internationalen Literatur haufig diskutierte Modelle eindimensionaler Intensitatsfunktionen, fur die wir die Performanz verschiedener Operatoren im Hinblick auf ihre intrinsischen Lokalisationsungenauigkeiten analysieren. Fur den zweidimensionalen Fall schlagen wir das Modell eines skalierbaren Zylinders – als Verallgemeinerung eines 1-D Sprungkanten- und Rampenmodells – vor, auf dessen Grundlage lokale Intensitatsvariationen unterschiedlicher Flachengeometrien angenahert werden konnen. Im einzelnen untersuchen wir den intrinsischen Lokalisationsfehler des Laplace-Operators (mit dem Laplace der Gausfunktion als regularisiertem Filteroperator) und sowohl der ersten als auch der zweiten Richtungsableitung der Bildfunktion (mit der jeweiligen Ableitung 1. bzw. 2. Ordnung der Gausfunktion als korrespondierende regularisierte Filteroperatoren) fur verschiedene Parametrisierungen des Zylindermodells, z.B. Radius und Skalierung des Diskontinuitat. Neue Ergebnisse analytischer und numerischer Losungen werden gezeigt und fur den ein- bzw. zweidimensionalen Fall diskutiert.