COMPUTATIONAL ASPECTS OF LARGE-LENGTH CYCLE SEARCH ALGORITHMS FOR NONLINEAR DISCRETE SYSTEMS
I. Skrynnyk, Dmitriy Dmitrishin, Alex Stokolos, Ionut Emil Iacob · Odes’kyi Politechnichnyi Universytet Pratsi · 2019
D'ailleurs, ce qui nous rend ces solutions périodiques si précieuses, c'est qu'elles sont, pour ainsi dire, la seule brèche par où nous puissions essayer de pénétrer dans une place jusqu'ici réputée inabordable" Henri Poincaré-Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, (& 36), 1892.І.М.Скринник, Д.В.Дмитришин, О.М.Стоколос, I.Е.Якоб.Обчислювальні аспекти алгоритмів пошуку циклів великих довжин для нелінійних дискретних систем.Динаміка навіть найпростіших нелінійних дискретних систем є досить складною.Вона включає в себе, як періодичні руху, так і квазіперіодичні або рекурентні.У таких системах майже завжди присутні хаотичні атрактори, природа яких на сьогодні досить добре вивчена, а саме, для широкого класу модельних рівнянь.У багатьох випадках хаотичні атрактори можна моделювати за допомогою періодичних рухів з великими періодами.Пошук таких атракторів і мінімальних інваріантних множин на них є важливим завданням прикладної математикирішення використовуються в фізичних, хімічних, економічних науках, в теорії кодування, передачі сигналів і ін.Проте математичні результати, засновані на комп'ютерних обчисленнях, вимагають ретельної перевірки на верифікацію, так як самі обчислення проводяться наближено, а хаотичні системи дуже чутливі до похибок обчислень.Один з підходів вирішення завдань пошуку і верифікації циклів заснований на застосуванні методів стабілізації цих циклів.Ці методи можна розділити на дві групи: контроль із запізненням, який використовує знання про попередні стани системи, і прогнозує контроль, який використовує майбутні значення стану системи при відсутності управління.Мета роботипоказати ефективність методу усередненого прогнозуючого контролю пошуку циклів на деяких популярних в технічній літературі динамічних системах.А також сформулювати необхідні умови того, що знайдена орбіта є дійсно циклом.У статті розвиваються методи прогнозуючого контролю: використовується усереднений прогнозуючий контроль, і пропонуються алгоритми пошуку циклів, засновані на властивостях такого контролю.Відзначаються різні особливості роботи алгоритмів в залежності від властивостей вихідної дискретної системи.Запропоновано методи верифікації циклічних точок у вигляді трьох необхідних умов циклічності точки: перевірка малої нев'язки, перевірка періодичності і перевірка локальної асимптотичної стійкості циклу.Для демонстрації роботи алгоритму і чисельного моделювання були обрані відомі двовимірні дискретні системи, такі як Lozi, Henon, Ikeda, Elhadj-Sprott, Multihorseshoe, Prey-Predator.До істотних особливостей цих систем відносяться наявність циклів великих довжин з домінуючим мультиплікатором, тобто в двовимірному випадку з одним великим по модулю мультиплікатором, а другим по модулю меншим одиниці.Для такого класу систем запропонований алгоритм працює особливо ефективно.Розроблений метод можна використовувати і для дослідження залежності топологічних властивостей дискретних динамічних систем від зміни параметрів, вивчення наявності біфуркацій і їх типів.Ключові слова: нелінійні дискретні системи, стабілізація періодичних рішень, алгоритми пошуку циклів великих довжин I. Skrynnyk, D. Dmitrishin, A. Stokolos, I.E.Iacob