Some contributions to archetypal analysis with applications
Ismael Cabero Fayos · 2019
basat en la idea de l'algorisme de clúster de Particionar al voltant de Medoids (PAM) (Kaufman and Rousseeuw; 1990).L'algorisme té dues fases:(i) En la primera fase, BUILD, es selecciona un conjunt d'arquetipoids com a conjunt inicial.(ii) En la segona fase, SWAP, es tracta de millorar la qualitat dels arquetipoids intercanviantlos per dades que redueixen l'RSS.A partir d'un conjunt inicial d'arquetipoids computats en el pas BUILD, la fase SWAP millora aquest conjunt mitjançant l'intercanvi de casos seleccionats per observacions no seleccionades i comprovant si aquests reemplaçaments redueixen l'RSS.Aquest algorisme es va implementar a la biblioteca R Anthropometry by Vinué et al. (2017).Es consideren tres alternatives per a la fase BUILD en la implementació R.Els primers candidats són els veïns més propers (utilitzant la distància euclidiana) als arquetipus, l'anomenat conjunt cand ns .Els segons candidats inicials, anomenats el conjunt cand α , són els casos amb el valor màxim de α per cada arquetipus j, és a dir, els casos amb la proporció relativa més gran per als respectius arquetipus.El tercer conjunt de candidats, el conjunt cand β , consisteix en les observacions amb el valor màxim de β per cada arquetipus j, és a dir, els principals contribuents en la generació dels arquetips.A partir d'aquests tres conjunts inicials, després de la fase SWAP, l'ADA torna tres conjunts d'arquetipoids.El conjunt amb RSS més baix (sovint el mateix conjunt s'obté de les tres inicialitzacions) és la solució ADA retornada.Una pregunta oberta és el número k d'arquetipus o arquetipoids per calcular.Tingueu en compte que ni arquetipus ni arquetipoids estan necessàriament niats.Ho pot decidir l'usuari o bé el criteri de colze es podria utilitzar tal com ho va fer Cutler and Breiman (1994); Eugster and Leisch (2009); Vinué et al. (2015) (el valor k és seleccionat com el punt on es troba el colze sobre la representació RSS per a una sèrie de diferents valors de k).Una vegada tenim l'interval sobre el qual es volen aproximar les funcions, haurem de dividirlo en L subintervals separats pels valors o nodes τ l on l = 1, . . ., L-1.El conjunt format per tots el nodes, rep el nom de vector nu.Un spline serà un polinomi d'un grau específic m, que aproximarà a la funció en cada interval.Els splines de grau 0 són funcions constants, els de grau 1 són rectes, els de grau dos paràboles, i així successivament.L'ordre del polinomi és el nombre de constants necessàries per a definir-lo que equival al seu grau més 1. Els diferents splines adjacents aniran unint-se de forma suau proporcionant continuïtat de tipus C m-2 en cadascun dels nodes.Es pot reduir la continuïtat en un node repetint el valor d'aqueix node.Si es té un spline d'ordre m amb un node de multiplicitat s (el valor del node es repeteix s vegades), la continuïtat en el node es redueix de C m-2 a C m-s-1 .A mesura que augmenta l'ordre dels polinomis, l'aproximació millora, sempre i quan la posició dels nodes es mantinga.Tanmateix, s'ha de tindre en compte que el que fa guanyar felixibilitat és el nombre de nodes.Habitualment s'utilitzen nodes equiespaits però és més adequat utilitzar més nodes en els intervals on la funció tinga més variabilitat, això sí, cada interval hauria de contindre un valor inicial o dada.Aleshores podem afirmar que una funció spline està determinada per dos elements: a) L'ordre dels segments polinomials; b) El vector nu donat per la successió τ 0 , ..., τ j amb l = 1, . . ., L -1.El nombre de paràmetres per a definir una funció spline, en el cas en que cada node tinga tan sols multiplicitat u, ve donat per l'ordre més el nombre de nodes interiors, m + L -1. Bases B-spline per a les funcions splineMalgrat que ja tenim definida el que és una funció spline, per a construir-la necessitarem un sistema de funcions base φ k (t) que han de verificar les següents propietats:• Cada funció base φ k (t) ha de ser una funció spline definida amb un ordre m i un vector nu τ .• Qualsevol combinació de les funcions base ha de ser una funció spline, ja que la suma i el producte de funcions spline és també una funció spline.• Cada funció spline definida amb un ordre m i un vector nu τ s'ha de poder expressar com una combinació lineal d'aqueixes funcions base.La manera més coneguda de construir funcions spline és utilitzant el sistema de bases Bsplines que va ser desenvolupat per De Boor et al. (1978), que recursivament, a partir de B 0 ,