Characteristically simple subgroups of quasiprimitive permutation groups
Pedro Henrique Pereira Daldegan · Americanae (AECID Library) · 2018
O Teorema de ONan-Scott classifica os grupos de permutações primitivos finitos dividindo-os em classes, de acordo com a estrutura de seus subgrupos normais minimais [25]. Um importante resultado nesta classificação é que todo grupo de permutações admite no máximo dois subgrupos normais minimais transitivos distintos [8, Lemma 5.1]. Um grupo de permutações é dito quase-primitivo se todos os seus subgrupos normais não triviais são transitivos. Por exemplo, todo grupo de permutações primitivo é quase-primitivo, mas visto que um grupo simples transitivo ´e sempre quase-primitivo, mas nem sempre primitivo, a classe dos grupos quase- primitivos ´e estritamente maior que a classe dos grupos primitivos.Grupos de permuta¸coes quase-primitivos finitos foram caracterizados por Praeger em [28]. Neste artigo Praeger mostrou que os grupos quase-primitivos podem ser classificados similarmente à classificação dos grupos primitivos. O problema de inclusão para um grupo de permutações H almeja determinar os possíveis subgrupos (quase-primitivos ou primitivos) do grupo simétrico que contenham H. Tal problema possui um número importante de aplicações em teoria de grupos, combinatória algébrica e teoria algébrica de grafos. Por exemplo, é uma situação comum em combinatória algébrica sabermos uma parte do grupo de automorfismos de uma estrutura combinatória, por exemplo um grafo de Cayley, e queremos determinar um grupo de automorfismos maior que pode ser quase-primitivo ou primitivo. O estudo do problema de inclusão é possível visto que há informações detalhadas sobre as fatoracões de grupos simples não abelianos finitos. Alguns resultados gerais sobre tais fatoraçõoes podem ser encontrados em [1, 26]. Neste trabalho descrevemos todas as inclusões H G tais que H é um grupo caracteristicamente simples, não abeliano e transitivo, e G é um grupo de permutações finito quase-primitivo com socle não abeliano. A este tipo de inclusão damos o nome de inclusão CharS-QP. Tais inclusões ocorrem naturalmente, por exemplo quando tomamos um grupo quase-primitivo finito G que possui um subgrupo normal minimal não abeliano S. Se denotarmos por soc(G) o socle de G, tanto S G quanto soc(G) G são inclusões CharS-QP. Ao tratar esse problema, nosso primeiro passo foi imergir explicitamente, sob algumas hipóteses, um grupo de permutaçõoes quase-primitivo em um produto entrelaçado com a ação produto, de forma que tal imersão fosse permutacional. Teorema 1. (Teorema de Imersão) Sejam G um grupo de permutações quase- primitivo em e . Assumamos as seguintes condições: 1.S = Q1 × · · · × Qr é um subgrupo normal minimal de G, em que cada Qi é caracteristicamente simples e não abeliano, e r 2. 2.G age transitivamente em {Q1, . . . , Qr} por conjuga¸cao. 3.Consideremos as projeções i : S Qi, e assumamos que S = (S1) × · · · × (Sr). Se considerarmos := [Q1 : (Q1)], então existe uma imersão permutacional : G Sym() wr Sr, em que consideramos o produto entrela¸cado como um grupo de permutações agindo com a ação produto em r. O resultado acima é um dos pontos-chave para demonstrar nosso segundo resultado.Teorema 2. (Teorema principal) Seja H G uma inclusao CharS-QP, tal que soc(G) é não abeliano. Então H soc(G). Com o intuito de entender melhor as inclusões do teorema principal, atacamos o problema analisando separadamente cada uma das classes de ONan-Scott (Capítulo 7). Tais resultados dependem fortemente da fatoração de grupos simples, bem como do teorema de classificação dos grupos simples finitos.