Self-similar solutions with fat tails for Smoluchowski's coagulation equation with singular kernels
Juan J. L. Velázquez, Barbara Niethammer, Sebastian Throm · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2015
We show the existence of self-similar solutions with fat tails for Smoluchowski's coagulation equation for homogeneous kernels satisfying C_{1}\left(x^{−a}y^{b} + x^{b}y^{−a}\right) \leq K\left(x,y\right) \leq C_{2}\left(x^{−a}y^{b} + x^{b}y^{−a}\right) with a > 0 and b 0 et b < 1 . Cela contient en particulier le noyau classique de Smoluchowski K(x,y) = (x^{1/ 3} + y^{1/ 3})(x^{−1/ 3} + y^{−1/ 3}) . Pour la démonstration de l'existence nous prenons une solution auto-similaire h_{\varepsilon } pour un noyau régularisé K_{\varepsilon } et nous obtenons une solution pour le noyau original K en passant à la limite \varepsilon \rightarrow 0 . La difficulté principale consiste à établir une borne inférieure pour h_{\varepsilon } . La clé ici est de considérer le problème dépendant du temps et choisir une solution du problème dual comme fonction test dans la formulation faible de l'équation auto-similaire.