Weighted Energy-Dissipation principle for gradient flows in metric spaces
Riccarda Rossi, Giuseppe Savaré, Antonio Segatti, Ulisse Stefanelli · Institutional Research Information System (Università degli Studi di Brescia) · 2019
This paper develops the so-called Weighted Energy-Dissipation (WED) variational approach for the analysis of gradient flows in metric spaces. This focuses on the minimization of the parameter-dependent global-in-time functional of trajectoriesIε[u]=∫0∞e−t/ε(12|u′|2(t)+1εϕ(u(t)))dt, featuring the weighted sum of energetic and dissipative terms. As the parameter ε is sent to 0, the minimizers uε of such functionals converge, up to subsequences, to curves of maximal slope driven by the functional ϕ. This delivers a new and general variational approximation procedure, hence a new existence proof, for metric gradient flows. In addition, it provides a novel perspective towards relaxation. Cet article s'intéresse au développement de l'approche variationnelle dite Weighted Energy-Dissipation (WED) – ou Dissipation Pondérée d'Énergie – pour l'analyse des flots de gradient sur les espaces métriques. L'accent est mis sur la minimisation de la famille de fonctionnelles suivante, définie sur les trajectoires et globale en tempsIε[u]=∫0∞e−t/ε(12|u′|2(t)+1εϕ(u(t)))dt,qui fait intervenir la somme pondérée des termes d'énergie et dissipatif. Lorsque l'on fait tendre le paramètre ε vers 0, les minimiseurs uε de ces fonctionnelles convergent, à l'extraction d'une sous-suite près, vers des courbes de pente maximale correspondant à la fonctionnelle ϕ. Ceci fournit une procédure d'approximation variationnelle générale et nouvelle, et donc une nouvelle preuve d'existence pour les flots de gradient métriques. Enfin, ceci ouvre une nouvelle perspective sur la relaxation.