RELAXATION OF THE INCOMPRESSIBLE POROUS MEDIA EQUATION
2016
L SZÉKELYHIDI J.A.-It was shown recently by Córdoba, Faraco and Gancedo in [1] that the 2D porous media equation admits weak solutions with compact support in time.The proof, based on the convex integration framework developed for the incompressible Euler equations in [4], uses ideas from the theory of laminates, in particular T 4 configurations.In this note we calculate the explicit relaxation of IPM, thus avoiding T 4 configurations.We then use this to construct weak solutions to the unstable interface problem (the Muskat problem), as a byproduct shedding new light on the gradient flow approach introduced by Otto in [12].R.-Il a récemment été démontré par Córdoba, Faraco et Gancedo dans [1], que l'équation des milieux poreux en dimension 2 admet des solutions faibles avec support compact dans le temps.La démonstration, qui fait appel à la méthode par intégration convexe telle qu'elle a été développée dans [4], dans le contexte des équations d'Euler incompressibles, utilise certaines idées provenant de la théorie des « laminates », et en particulier les configurations dites T 4. Dans cette note, nous calculons explicitement la relaxation du « IPM », évitant ainsi les configurations T 4. Ceci nous permet ensuite de construire des solutions faibles au problème des interfaces instables (problème de Muskat) et a pour autre conséquence de clarifier l'approche par flot de gradient, introduite par Otto dans [12].