Distribution of eigenvalues and the Green functions of degenerated elliptic differential operators
Hans Triebel · Czechoslovak Mathematical Journal · 1968
In der Arbeit werden selbstadjungierte entartete eUiptische Differentialoperatoren der Ordnung 2m in einem beschränkten Gebiet Q des n-dimensionalen eukhdischen Raumes untersucht.Betrachtet man die quadratische Form Ä[u, u} == \ J\ Al{x) D%D^ü dx auf den unendUch oft differenzierbaren und in Q finiten Funktionen, (^^(x) = = Л^(х), Л^(л:) lokal integrierbar), so heißt der durch sie erzeugte Operator А entartet elliptisch, falls Jß |a|=m a(x) ^ 0, gilt.Das Maß der "Entartung" wird durch die Zugehörigkeit von a''^{x) zu L^Q), 1 ^ ^ ^ 00, beschrieben, (^ = oo entspricht dem streng elHptischen Fall).In den Abschnitten 5 und 8 wird untersucht, wann A ein reines Punktspektrum besitzt, 00 die Eigenwerte seien v^, (i = 1, 2, ...), und für welche Exponenten y ^ (l/vf)^ konvergiert.Ferner werden Bedingungen angegeben, wann sich Л~Мп der Form (Л-1/)(х)= [G{x,y)f{y)ày J Q darstellen läßt und welche Differenzierbarkeitseigenschaften die Greensche Funktion G{x, y) besitzt (Satz 3 und Satz 8).Die Resultate verallgemeinern Ergebnisse der Arbeit [12].In den Abschnitten 6 und 9 werden die entsprechenden Untersuchungen für selbstadjungierte, entartete elliptische Operatoren der Form Au = ^ a"{x) D^'u |a|^2m