Well-formed scales, non-well-formed words and the Christoffel duality
Manuel Domínguez Romero · 2016
La presente tesis tiene principalmente tres objetivos. En primer lugar, se ofrecera al lector una vision global de la teoria de escalas bien formadas desde un punto de vista de la combinatoria de palabras. Desde esta perspectiva se desarrollaran las propiedades de las escalas generadas, del teorema de los tres pasos, la definicion y las distintas caracterizaciones de las escalas bien formadas y, por ultimo, la nocion de dualidad. Esto sera llevado a cabo en el Capitulo 2. Segun el Teorema de los tres pasos, si una escala esta generada por un numero irracional, puede tener dos o tres pasos distintos. Si tiene dos pasos, la escala es bien formada y sus propiedades estan plenamente descritas en el Capitulo 2. Los patrones de estas escalas coinciden con las palabras de Christoffel del alfabeto 0,1. Sin embargo, queda pendiente de estudiar en profundidad el caso malo del teorema de los tres pasos: hasta la fecha no se han estudiado las propiedades matematicas que verifican las escalas generadas que no son bien formadas. Puesto que sus patrones son palabras ternarias, el objetivo es intentar relacionar estas palabras con alguna de las generalizaciones de las palabras de Christoffel a alfabetos de n letras que existen en la literatura de la combinatoria algebraica de palabras. Esta idea centrara los contenidos del Capitulo 3. Por ultimo, se pretende estudiar si la dualidad sobre las escalas bien formadas puede extenderse a otros ambitos. El primero de ellos es el de los modos de una escala. Dado que matematicamente los patrones de los modos de una escala son rotaciones del patron original, la idea es extender la involucion de palabras de Christoffel sobre sus rotaciones conjugados. Pero estas extensiones se deben comportar bien cuando consideramos la involucion sobre los morfismos de palabras. Este problema centrara los contenidos del Capitulo 4. Una segunda forma de extender la dualidad de Christoffel es la siguiente. Si fijamos un numero irracional g, cada convergente o semiconvergente de g es una fraccion que es, a su vez, la pendiente de una palabra de Christoffel. Es posible encontrar un generador dual h de forma que las palabras de Christoffel cuyas pendientes sean semi-convergentes, respectivamente de g y de h sean duales dos a dos El Capitulo 5 esta dedicado a responder a esta pregunta.