An Integral Representation and Pointwise Inequality for the Fractional Laplace-Beltrami Operator
Ángel D. Martínez · Dialnet (Universidad de la Rioja) · 2018
En esta tesis se presentan resultados relativos al operador fraccionario, definido espectralmente, sobre las funciones de una variedad riemanniana M. Los resultados obtenidos son herramientas que permiten probar teoremas sobre regularidad de soluciones de la ecuacion cuasigeostrofica superficial (SQG) en la esfera dos dimensional. La motivacion del estudio de dicha ecuacion proviene de la meteorologia y de sus similitudes analIticas con la ecuacion de Euler tres dimensional. La tesis comienza con dos capItulos introductorios (castellano e ingles, respectivamente) en los que se describen los resultados expuestos y sus aplicaciones. Concluimos este resumen indicando brevemente el contenido del resto: Chapter 3: se prueba un resultado fundamental para el operador de Dirichlet-Neumann, una desigualdad puntual que extiende la de Cordoba-Cordoba. La prueba se basa en una aplicacion del lema de Hopf. Chapter 4: se extiende la desigualdad de Cordoba-Cordoba (conocida en el espacio euclIdeo con anterioridad) a variedades compactas arbitrarias mediante tcnicas de subordinacin de operadores. Chapter 5: este capitulo trata el operador de Laplace-Beltrami y, en concreto, como ciertas cotas de las normas L^p de autofunciones estan relacionadas con un problema de restriccion a escalas pequeas para cier- tas variedades que incluyen las superficies compactas de curvatura constante. Chapter 6: se prueba una util representacion integral para el operador fraccionario en variedades.