The Dirichlet problem for harmonic maps from the disk into the euclidean n-sphere
Vieri Benci, Jean‐Michel Coron · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 1985
Let Ω = \{(x,\:y) \in ℝ^{2}|x^{2} + y^{2} < 1\}, \quad \mathrm{S}^{n} = \{v \in ℝ^{n + 1}|\:|v| = 1\} \quad (n ⩾ 2), and let γ \in C^{2,δ}(∂Ω; \mathrm{S}^{n}) . We study the following problem \tag{$\ast$} \begin{cases} u \in \mathrm{C}^{2}(Ω;\mathrm{S}^{n})\: \cap \mathrm{C}^{0}(\overline{Ω};\mathrm{S}^{n})\\ −Δu = u|\left. abla u|\right.^{2}\\ u = \gamma \:\:\text{on}\:\:∂Ω. \end{cases} Problem ( \ast ) is the « Dirichlet » problem for a harmonic function u which takes its values in S^n . We prove that, if γ is not constant, then ( \ast ) has at least two distinct solutions. Résumé Soit γ une application du bord d’un disque de ℝ^{2} à valeurs dans une sphère euclidienne de dimension n . On montre que, si γ n’est pas une application constante, il existe au moins deux applications harmoniques du disque dans la sphère égales à γ sur le bord du disque.