Engel words and verbal width in groups
Jorge Martínez Carracedo · 2016
Dado un grupo arbitrario G y una palabra w del grupo libre de rango r, con r un numero natural, se puede considerar la aplicacion w_G :G^r ----> G, que envia cada tupla (g_1, g_2,...,g_r) a su imagen por la palabra w, w_G(g_1, g_2,...,g_r). Denotaremos la imagen de esta aplicacion por w_G(G). El subgrupo verbal de G asociado a w se define como el subgrupo generado por w_G(G). Se dice que la palabra w tiene anchura finita en G si existe algun entero m tal que todo producto de w-valores y sus inversos en G se puede expresar como un producto de a lo sumo m w-valores y sus inversos en G. El menor entero que cumple dicha propiedad se llama anchura de w en G. En el primer capitulo de la tesis consideramos la palabra x^q, donde q=p^r, con p un numero primo y r un numero natural. Se probo que la anchura verbal de esta palabra sobre los grupos alternados A_n (siempre n mayor o igual que 5), es a lo sumo dos. Posteriormente consideramos palabras de Engel de longitud m, es decir, los elementos del grupo libre de rango 2 dados por E_m(x,y)=[…[x,y],y]…],y]. En el segundo capitulo se prueba que la anchura verbal de E_m(x,y) sobre los grupos alternados es a lo sumo dos, dado que todo elemento de un grupo alternado se puede escribir como producto de dos palabras de Engel de longitud arbitraria. En el capitulo tercero se considera el caso de palabras de Engel de longitud dos. Se probo que todo elemento del grupo alternado se puede escribir como una palabra de Engel de longitud 2. Es decir, el elemento [[x,y],y] del grupo libre de rango dos tiene anchura verbal 1 sobre los grupos alternados. El capitulo cuarto se centra en el problema general, es decir, en estudiar si todo elemento de un grupo alternado simple no abeliano es una palabra de Engel de longitud mayor o igual a 3. Para aproximarnos al problema exploramos un enfoque combinatorio que nos permitiera utilizar una via computacional. De este modo se pudo probar el resultado para n variando entre 5 y 14 y palabras de Engel de longitud arbitraria, lo que no hubiera sido posible de modo directo, dado el tamano de los grupos y la no acotacion de la longitud de las palabras de Engel. Finalmente, el capitulo quinto esta dedicado al estudio del grupo de Nottingham en caracteristica 0, es decir, el grupo de automorfismos normalizados del cuerpo F((t)). En concreto, se queria probar que dicho grupo es verbalmente eliptico, es decir, que toda palabra es eliptica sobre el grupo, o lo que es lo mismo, que tiene anchura finita en el grupo G. Para ello se estudia el concepto de polinomio multilineal fuertemente eliptico en un algebra y se trabaja con las algebras graduadas asociadas a dos conocidas filtraciones del grupo de Nottingham.