Semigroups of Sets Without the Baire Property In Finite Dimensional Euclidean Spaces
Venuste Nyagahakwa · Linköping University Electronic Press eBooks · 2015
A semigroup of sets is a family of sets closed under finite unions.This thesis focuses on the search of semigroups of sets in finite dimensional Euclidean spaces R n , n ≥ 1, which elements do not possess the Baire property, and on the study of their properties.Recall that the family of sets having the Baire property in the real line R, is a σ-algebra of sets, which includes both meager and open subsets of R.However, there are subsets of R which do not belong to the algebra.For example, each classical Vitali set on R does not have the Baire property.It has been shown by Chatyrko that the family of all finite unions of Vitali sets on the real line, as well as its natural extensions by the collection of meager sets, are (invariant under translations of R) semigroups of sets which elements do not possess the Baire property.Using analogues of Vitali sets, when the group Q of rationals in the Vitali construction is replaced by any countable dense subgroup Q of reals, (we call the sets Vitali Q-selectors of R) and Chatyrko's method, we produce semigroups of sets on R related to Q, which consist of sets without the Baire property and which are invariant under translations of R. Furthermore, we study the relationship in the sense of inclusion between the semigroups related to different Q.From here, we define a supersemigroup of sets based on all Vitali selectors of R. The defined supersemigroup also consists of sets without the Baire property and is invariant under translations of R. Then we extend and generalize the results from the real line to the finite-dimensional Euclidean spaces R n , n ≥ 2, and indicate the difference between the cases n = 1 and n ≥ 2. Additionally, we show how the covering dimension can be used in defining diverse semigroups of sets without the Baire property.v Populärvetenskaplig sammanfattning En semigrupp av mängder är en familj av mängder som är sluten under ändliga unioner.Denna licentiatavhandling fokuserar på sökandet efter semigrupper av mängder i de ändligdimensionella euklidiska rummen R n , n ≥ 1, vars element inte har Baire-egenskapen, och på studiet av deras egenskaper.Som bekant är familjen av delmängder av R som har Baire-egenskapen en σalgebra av mängder som innehåller både de öppna och de magra delmängderna av R. Det finns dock delmängder av R som inte tillhör algebran.Till exempel gäller att varje klassisk Vitali-mängd på R inte har Baire-egenskapen.Chatyrko har visat att familjen av alla ändliga unioner av Vitali-mängder på reella linjen, och den utvidgning av denna familj som på ett naturligt sätt ges av familjen av magra mängder, är semigrupper av mängder på R, som består av mängder som inte har Baire-egenskapen och som är invarianta under translationer av R. Genom att använda motsvarigheten till Vitali-mängder när gruppen Q i Vitalis konstruktion ersätts med en godtycklig uppräknelig tät delgrupp Q av R (vi kallar dessa mängder Vitali-Q-selektorer på R), och Chatyrkos metoder, konstruerar vi semigrupper av mängder på R relaterade till Q, som består av mängder som inte har Baire-egenskapen och som är invarianta under translationer av R. Vidare studerar vi hur semigrupper relaterade till olika grupper Q förhåller sig med avseende på inklusion, och vi definierar en "supersemigrupp" baserad på alla Vitali-selektorer på R. Denna supersemigrupp består också av mängder som inte har Baire-egenskapen och är invariant under translationer av R. Vi utvidgar och generaliserar sedan dessa resultat från reella linjen till ändligdimensionella euklidiska rum R n , n ≥ 2, och visar på olikheterna i de två fallen n = 1 och n ≥ 2. Dessutom visar vi hur begreppet övertäckningsdimension kan användas för att definiera en mångfald av semigrupper av mängder som inte har Baireegenskapen.vii This Licentiate thesis appears in its current form due to the assistance and guidance of several people.I would therefore like to offer my sincere thanks to all of them.First, I would like to express my gratitude to my supervisors Vitalij A. Chatyrko and Mats Aigner for useful comments, remarks and engagement through the learning process until to this Licentiate thesis.They provided encouragement and advise necessary for me to complete this Licentiate thesis and to proceed through the Ph.D program.In a very special way, I would also like to thank Bengt Ove Turesson, Björn Textorius and all members of the Department of Mathematics for their helps whenever need arises at work.They have directed me through various situations, allowing me to reach this accomplishment.