The existence and uniqueness for the Dirichlet problem in general domains
Ivo M. Babuska, Rudolf Výborný · Czechoslovak Mathematical Journal · 1959
In dieser Arbeit wird die Dirichletsche Aufgabe untersucht.Der Definitionsbereich muss nicht beschränkt sein.Die Frage der Eindeutigkeit für die Klasse der beschränkten Funktionen wird gelöst.In dieser Arbeit wollen wir die Dirichletsche Aufgabe für die Laplacesche Gleichung auf einem Gebiet untersuchen, das nicht beschränkt sein muss.Mit dieser Problematik beschäftigte sich auch M. BKELOT in einigen seiner zahlreichen Arbeiten über die Dirichletsche Aufgabe und die Theorie des Potentials.(Siehe z.Bsp.[1], [2], [3]).Eine elementare Behandlung dieses Problems findet man bei J. MAUIK [4].In unserer Arbeit beweisen wir den Existenzsatz für verallgemeinerte Lösungen und leiten die notwendige und hinreichende Bedingung für die Eindeutigkeit für die Klasse der beschränkten Funktionen ab.Schliesslich zeigen wir den Zusammenhang unseres Problems mit der Aufgabe, eine harmonische Funktion in einem beschränkten Gebiet G zu bestimmen, welche mit Ausnahme eines einzigen Randpunktes die vorgeschriebenen Werte annimmt und in der Umgebung des Ausnahmepunktes sich wie die elementare Lösung verhält.Dadurch beweisen wir gleichzeitig eine Verallgemeinerung des bekannten Satzes von S. ZA-EBMBA [6].L. Амвшо [14] und M. KRZYZANSKI [15], [16] beschäftigten sich mit ähnlichen Problemen für die allgemeine elliptische Gleichung.Alle unsere Erwägungen führen wir im dreidimensionalen Euklidischen Raum E 3 aus, sie lassen sich aber leicht mit einigen kleineren Änderungen auf einen beliebigen Euklidischen Raum E n , n > 3 übertragen.Die Schlüsse aus § 1 gelten auch für n = 2.In der ganzen Arbeit ist x e E Zi \x\ = = yW+^l + x l und \x -y\ = ]/{x ± -y x f + (x 2 -y 2 j 2 + (a? 3 -?/ 3 ) 2 ist die Entfernung der Punkte x und y.Mit G bezeichnen wir eine offene nichtleere Untermenge von E< iy A ist die Abschliessung der Menge A und die Grenze dieser Menge bezeichnen wir mit A.Fassen wir nun einige Definitionen und Ergebnisse, die wir im weiteren be-