Open Problems on Topological Vector Spaces With Applications to Inverse Problems in Bioengineering
Justin Robert Hill · 2016
Un subconjunto totalmente anti-proximinal de un espacio vectorial es un subconjunto propio no vacio que no tiene un punto mas cercano, cualquiera que sea la norma con la que este dotado el espacio vectorial. Se dice que un espacio vectorial topologico localmente convexo y de Hausdorff tiene la propiedad anti-proximinal (debil) si cada subconjunto totalmente anti-proximinal (absolutamente) convexo es no raro. La Conjetura de Ricceri, planteada por el profesor Biaggio Ricceri, establece la existencia de un espacio normado no completo que satisface la propiedad anti-proximinal. En esta tesis doctoral nos acercamos a la Conjetura de Ricceri positivamente demostrando que un espacio vectorial topologico de Hausdorff y localmente convexo goza de la propiedad anti-proximal debil si y solo si es tonelado. Como consecuencia, mostramos la existencia de espacios normados no completos que satisfacen la propiedad anti-proximal debil. Tambien introducimos una nueva clase de conjuntos convexos llamados cuasi absolutamente convexos y demostramos que un espacio vectorial topologico localmente convexo de Hausdorff satisface la propiedad anti-proximal debil si y solo si cada subconjunto casi absolutamente convexo totalmente anti-proximinal es no raro. Esto ultimo proporciona otra solucion positiva parcial a la Conjetura de Ricceri con muchas aplicaciones a la teoria de ecuaciones diferenciales parciales. Tambien estudiamos la estructura intrinseca de los subconjuntos convexos totalmente anti-proximinales demostrando, entre otras cosas, que la envoltura absolutamente convexa de un conjunto convexo totalmente anti-proximinal linealmente acotado debe ser finitamente abierta. Como consecuencia de esto, se proporciona una nueva caracterizacion del concepto de tonelacion en terminos de comparacion de normas. Otro de nuestros avances consiste en demostrar que un subconjunto totalmente anti-proximal absolutamente convexo de un espacio vectorial es linealmente abierto. Tambien probamos que si cada subconjunto convexo totalmente antiproximinal de un espacio vectorial es linealmente abierto entonces la Conjetura de Ricceri es verdadera. Tambien demostramos que el concepto de anti-proximinalidad total no tiene sentido en el ambito de los espacios pseudo-normados. Saliendonos un poco de la Conjetura de Ricceri, estudiamos tambien algunas propiedades geometricas relacionadas con el conjunto Π X := {(x, x ∗ ) ∈ S X × S X ∗ : x ∗ (x) = 1} obteniendo dos caracterizaciones de los espacios de Hilbert en la categoria de espacios de Banach. Tambien calculamos la distancia de un elemento generico (h, k) ∈ H ⊕ 2 H a Π H para H un espacio de Hilbert. Como aplicacion de nuestros resultados matematicos, combinamos un metodo de elementos de contorno inverso y tecnicas de optimizacion eficientes para producir un marco versatil para disenar bobinas TMS verdaderamente optimas. El enfoque presentado puede ser visto como una mejora del trabajo introducido por Cobos Sanchez et al. donde la optimalidad de las soluciones de las bobinas resultantes no estaba garantizada. Este nuevo marco numerico ha sido aplicado eficientemente para producir bobinas TMS con geometria arbitraria, per mitiendo la inclusion de nuevas caracteristicas de la bobina en el proceso de diseno, tales como la densidad de corriente maxima optimizada o la temperatura reducida. Incluso las propiedades estructurales de la cabeza se han considerado para producir estimuladores TMS mas realistas. Se disenaron y simularon varios ejemplos de bobinas TMS para demostrar la validez del enfoque propuesto.