Unlimited splines in problems of data filtration and compression
В. В. Турчак, І. В. Шелевицький, Volodymyr M. Shutko · Proceedings of National Aviation University · 1998
1 '98 УДК 519.2+681.5.015(0.73.3)В.в.Турчак, І.В.Шелевицький, В.М.Шутко «НЕОБМЕЖЕНІ» СПЛАЙНИ В ЗАДАЧАХ ФІЛЬТРАЦІЇ ТА СТИСНЕННЯ ДАНИХ Розглянуто прості аналітичні вирази одержання оцінок сплайнової моделі методом найменших квадратів за умови, що сітка вузлів сплайна та даних є регулярною і необмеженою в часі.В системах обробки вимірюваної інформації актуальною є задача стиснення та відновлення даних.При передачі та зберіганні інформації бажано її максимально стиснути.Для фільтрації, аналізу та відображення слід відновити вхідний обсяг даних або навіть розширити його.Один з підходів до розв'язання цієї задачі полягає в передачі та зберіганні лише суттєвих відліків процесу, що вимірюється [1].При цьому для визначення суттєвості відліків застосовують різні критерії: рівномірний, інтегральний, середньоквадратичний. Відновлення вхідного процесу здійснюється із заданою точністю, тому такі методи відносять до квазіобернених.Фактично алгоритми, які реалізують вказані процедури, формують мінімальну кількість координат параметра, що вимірюється.У випадку відсутності або несуттєвості випадкової складової у вимірюваному процесі задача стиснення зводиться до наближення вхідної послідовності деякою досить простою та зручною в обчисленнях аналітичною функцією.Задача відновлення полягатиме в інтерполяції.Проте досить складно досягти компромісу між точністю наближення та простотою аналітичної функції, особливо для процесів на значних відрізках та складного вигляду.Наявність випадкової складової у вимірюваному процесі, обумовленої як похибками вимірювань, так і внутрішньою природою самого процесу, заставляє застосовувати статистичні методи оцінювання, що ускладнює процедуру стиснення.Тому часто в алгоритмах стиснення використовують алгебраїчні поліноми невисоких порядків у поєднанні з обробкою даних у побіжному вікні або секціями [2].Привабливий вигляд має застосування із зазначеною метою поліноміальних сплайнів, які при відносній простоті мають хороші апроксимуючі властивості [3].Проте в загальному випадку застосування сплайнів як аналітичних моделей при статистичному оцінюванні призводить до складних розрахунків, що мало підходять для роботи в реальному часі.Однак правильний вибір сплайна та введення ряду обмежень дозволяють обійти ці труднощі.Перша проблема полягає у виборі зручного для наближення та розрахунків сплайна.Найбільш відомий -глобальний кубічний сплайн з двома неперервними похідними.Він має властивості найкращої апроксимації та гладкості, проте для побудови навіть для інтерполяції ним потрібно розв'язувати систему лінійних рівнянь.Незважаючи на те, що існують алгоритми побудови такого сплайна з допомогою методу найменших квадратів [4], складність обчислень не дозволяє використати його в реальному часі.Тому найбільш доцільними є локальні сплайни, при розрахунку яких немає потреби розв'язувати систему рівнянь.Локальні інтерполяційні сплайни будують, враховуючи лише найближчі вузли, і вони не мають оптимальних властивостей глобальних сплайнів.Кубічні ермітові сплайни мають неперервну першу похідну, визначену з умови відповідності її значення реальному процесові.Це зумовлює їхню гладкість і хорошу відповідність процесові, який наближають.В лагранжевій формі запису кубічні інтерполяційні сплайни просто визначаються через вузли -точки стикування фрагментів.