Symmetry breaking for a class of semilinear elliptic problems
P. N. Srikanth · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 1990
In this article we consider the problem \tag{$P_\lambda$} \begin{align*} −\mathrm{\Delta }u &= u^{p} + \mathrm{\lambda }u\:&&\mathrm{in }\:\:\mathrm{\Omega } \\ u &= 0\:\:\:\:&&\mathrm{on }\:\:∂\mathrm{\Omega }\:\: \\ u &> 0 && \end{align*} where Ω is an annulus and p > 1 . We prove there is always a break of symmetry along the branch of radial solutions if the thickness of Ω is sufficiently small. Résumé Dans cet article, nous considérons le problème \tag{$P_\lambda$} \begin{align*} −\mathrm{\Delta }u &= u^{p} + \mathrm{\lambda }u,\:\:&&\mathrm{dans}\:\:\mathrm{\Omega }, \\ \:\:\:u &= 0\:\:\:\:\:&&\mathrm{sur}\:\:\:∂\mathrm{\Omega }\:\: \\ u &> 0, && \end{align*} ou Ω est un anneau et p > 1 . Nous montrons qu’il y a toujours une casse de symétrie dans la branche des solutions radiales, si l’épaisseur de Ω est suffisamment petite.