Homogenization of elliptic problems in thin domains with oscillatory boundaries
Manuel Villanueva Pesqueira · 2016
En esta Tesis Doctoral se estudia el comportamiento de las soluciones de la ecuacion de Poisson con condiciones de frontera de tipo Neumann homogeneo en dominio finos bi-dimenionales con fronteras oscilantes. El objetivo principal de la Tesis es analizar como la geometria de los dominios finos afecta al comportamiento de las soluciones, especialmente en aquellos casos que van mas alla del marco puramente periodico. Es importante destacar que aunque la cantidad de trabajos de investigacion en el campo de la homogeneizacion periodica es bastante grande solo unos pocos van mas alla de las hipotesis de periodicidad. Realmente son muchas las dificultades que aparecen para adaptar las tecnicas usuales a situaciones donde de alguna manera se pierde la periodicidad, por ejemplo en casos localmente periodicos. En el Capitulo I, que se puede considerar introductorio, se adapta la reciente tecnica conocida como ?Unfolding Method? al caso en el que los dominios finos presentan oscilaciones periodicas en la frontera superior. En el analisis se diferencian tres posibles comportamientos en funcion del orden de frecuencia de las oscilaciones: caso critico o resonante, oscilaciones debiles y oscilaciones fuertes. Es importante destacar que el metodo del unfolding se presenta como un procedimiento general que permite tratar las tres posibles situaciones mencionadas previamente de una forma unificada. La principal contribucion de este capitulo es que se consideran fronteras oscilantes muy poco regulares donde no es posible definir, de una forma razonable, operadores de extension. Ademas de obtener los problemas limites homogeneizados se prueban resultados de correctores. El Capitulo II aborda el caso en el que los dominios finos presentan oscilaciones localmente periodicas en la frontera superior permitiendo que tanto la amplitud como el periodo de las oscilaciones varien. Extendiendo el metodo del unfolding a esta situacion no periodica se consigue entender como el periodo variable y la geometria de la frontera afectan al problema limite homogeneizado. En este caso tambien se obtienen correctores. En el Capitulo III se consideran dominios finos con oscilaciones en la frontera inferior y superior. Cabe destacar que los casos analizados en este capitulo van mas alla del marco puramente periodico pues el periodo y el orden de frecuencia de las oscilaciones de las dos fronteras no tienen por que coincidir. Combinando diferentes tecnicas dependiendo del orden de frecuencia de oscilacion que presentan las dos fronteras se obtienen los correspondientes problemas limites homogeneizados y resultados de correctores.