Homogenization of renormalized solutions of elliptic equations
François Murat · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 1991
We study in this paper the stability of the renormalized nonlinear elliptic equation \begin{align*} & u \in \mathrm H^1_0(\Omega) \\ & -\mathrm{div} (h(u)A\,\mathrm{grad} u)+h'(u)A\, \mathrm{grad} u\, \mathrm{grad} u \\ & -\mathrm{div} (h(u)\Phi(u)) + h'(u) \Phi(u) \mathrm{grad} u= fh(u)\quad \text{in } \mathscr D'(\Omega) \\ &\forall h\in C^1_c(\mathbb R) \end{align*} where Φ : ℝ → ℝ^N is a continuous function which is not assumed to satisfy any growth condition. The above renormalized formulation differs from the usual weak one by the fact that the test functions h(u) φ (which depend on the solution itself) are used in place of the usual test functions \varphi \in \mathscr D \Omega . Consider a sequence of renormalized solutions u^ε relative to a fixed right-hand side f , to a fixed function Φ and to a sequence of matrices Α^ε which converges in the homogenization’s sense to A^0 . We prove that a subsequence of u^ε weakly converges in \mathrm{H}_{0}^{1}(\mathrm{\Omega }) to a renormalized solution of the equation relative to f , Φ and A^0 . We also consider a sequence of renormalized solutions u^ε relative to a fixed matrix A , to a fixed function Φ and to a sequence of right-hand sides f^ε which weakly converges to f^0 in \mathrm Η^{−1}(Ω) . Under a special equi-integrability assumption on f^ε we prove that a subsequence of u^ε weakly converges in& \mathrm{H}_{0}^{1}(\mathrm{\Omega }) to a renormalized solution of the equation relative to Α , Φ and f^0 . Résumé Nous étudions dans cet article la stabilité de l’équation elliptique non linéaire renormalisée \begin{align*} & u \in \mathrm H^1_0(\Omega) \\ & -\mathrm{div} (h(u)A\,\mathrm{grad} u)+h'(u)A\, \mathrm{grad} u\, \mathrm{grad} u \\ & -\mathrm{div} (h(u)\Phi(u)) + h'(u) \Phi(u) \mathrm{grad} u= fh(u)\quad \text{dans } \mathscr D'(\Omega) \\ &\forall h\in C^1_c(\mathbb R) \end{align*} où Φ : ℝ → ℝ^N est une fonction continue à laquelle aucune hypothèse de croissance n’est imposée. La formulation renormalisée ci-dessus diffère de la formulation faible habituelle par le fait qu’on y utilise des fonctions test h(u) φ (qui dépendent de la solution elle-même) et non seulement les fonctions test habituelles \varphi \in \mathscr D \Omega . Considérons une suite de solutions renormalisées u^ε relatives à un second membre fixé f , à une fonction fixée Φ et à une suite de matrices A^ε qui converge au sens de l’homogénéisation vers A^0 . Nous démontrons qu’une sous-suite de u^ε converge faiblement dans \mathrm{H}_{0}^{1}(\mathrm{\Omega }) vers une solution renormalisée de l’équation relative à f , Φ et A^0 . Nous considérons également une suite de solutions renormalisées u^ε relatives à une matrice fixée A , à une fonction fixée Φ et à une suite de second membres f^ε qui converge faiblement dans \mathrm Η^{−1}(Ω) vers f^0 . Sous une hypothèse d’équi-intégrabilité spéciale sur les f^ε nous montrons qu’une sous-suite de u^ε converge faiblement dans \mathrm{H}_{0}^{1}(\mathrm{\Omega }) vers une solution renormalisée de l’équation relative à