Équation de la chaleur et réflections multiples
C. Perret, Patrick Witomski · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 1991
The model we are presenting here is a simplified version which arises from the numerical simulation of the crystal growth ([3], [6]). We are interested in the resolution of the heat equation in a domain Ω with thermal exchanges by radiation on a part Γ_1 of the boundary of Ω . These exchanges exist inside a closed cavity Γ = Γ_1 ∪ Γ_2 . If we take account of all the reflections we obtain a nonlinear Neumann’s condition with temperatures coupled on Γ_1 . The method using here to prove the existence of a solution to this problem is based on the utilization of lower and upper solutions. We obtain the unicity by a maximum principle. Résumé Le modèle que nous présentons ici est une version simplifiée tirée de la simulation numérique d’un procédé de cristallogénèse ([3], [6]). On s’intéresse à la résolution de l’équation de la chaleur dans un domaine Ω avec des échanges thermiques par rayonnement sur une partie Γ_1 de la frontière de Ω . Ces échanges se font à l’intérieur d’une enceinte fermée Γ = Γ_1 ∪ Γ_2 . La prise en compte de toutes les réflections donne un couplage des températures et une condition de Neumann non linéaire sur Γ_1 . Cette non linéarité n’est pas monotone. On utilise la méthode des sous et sur solutions pour montrer l’existence d’une solution minimale et d’une solution maximale puis on établit l’unicité de la solution avec un principe du maximum.