On reduction formulas for linear systems of operator equations
Ivana Jovović · 2013
mojoj porodici Vesni, Vladeti i D ordu Ove izjave zahvalnosti nisu prosto stvar kurtoazije, zapravo pisanje ovih nekoliko redova predstavlja mi prijatnu obavezu i veliko zadovoljstvo.Pre svega iskrenu zahvalnost dugujem prof.dr Branku Maleševiću na poverenju koje mi je ukazao prihvativši se mentorstva ovog rada.Kao mentor pružio mi je nesebičnu pomoć, davao dragocene savete, dobronamerno me kritikovao i motivisao u nastajanju ove teze.Zahvaljujem se i na podršci i strpljenju koje mi je ukazao prilikom izrade disertacije.Zahvalnost dugujem članovima komisije docentu dr Dragani Todorić, prof.dr Gojku Kalajdžiću i prof.dr Žarku Mijajloviću na korisnim sugestijama i svesrdnoj pomoći, ne samo pri izradi ove doktorske disertacije, već i u toku osnovnih i doktorskih studija.Želela bih ovom prilikom da se zahvalim i prof.dr Aleksandru Lipkovskom što je doprineo profilisanju mojih matematičkih afiniteta.Veliko hvala i mojoj porodici, Vesni, Vladeti i Dordu, kojima je ova disertacija i posvećena, na bezrezervnoj podršci.O redukcijama sistema linearnih operatorskih jednačina Apstrakt:Predmet izučavanja disertacije je primena nekih tehnika linearne algebre u rešavanju problema redukcije sistema linearnih operatorskih jednačina oblikaPosebno se razmatra redukcija sistema dejstvom opšte linearne grupe GL(n, K), kao i korišćenjem karakterističnog polinoma ∆ B (λ) matrice B i rekurentnih formula za koeficijente adjungovane matrice karakteristične matrice λ • I -B matrice B. Upotrebom kanonskih formi matrica, razmatramo transformacije polaznog sistema linearnih operatorskih jednačina u neke jednostavnije sisteme i takav tip transformacija odreduje parcijalne redukcije polaznog sistema.Dobijeni rezultati o parcijalnoj redukciji sistema predstavljaju nove primene duple prateće matrice koje je uveo J.C. Butcher u [5].Takode, razmatramo transformacije polaznog sistema linearnih operatorskih jednačina prvog reda u sisteme operatorskih jednačina višeg reda po jednoj promenljivoj i takav tip transformacija odreduje totalnu redukciju polaznog sistema.Dobijeni rezultati o totalnoj redukciji sistema biće povezani sa rezultatima rada T. Downsa [13].Teza se sastoji iz dva dela.U prvom delu se bavimo racionalnom i Žordanovom kanonskom formom.Polazi se od osnovne strukturne teoreme za konačno generisane module nad glavnoidealskim prstenima.Primenom date teoreme na konačno dimenzionalni vektorski prostor nad poljem K koji posmatramo kao modul nad prstenom polinoma po jednoj promenljivoj K[x] dobijamo osnovni rezultat o racionalnoj i Žordanovoj formi, koje zatim primenjujemo na transformacije linearnih sistema operatorskih jednačina.Izlaganje u uvodnoj glavi prati knjigu Abstract Algebra autora D. S. Dummit i R. M. Foote [14].Neki dokazi su izmenjeni i prilagodeni radi lakšeg uklapanja u celinu i stavljanja akcenta na kanonske forme.Druga glava sa detaljno bavi normalnim formama, Ermitovom, Smitovom, racionalnom i Žordanovom, kao i vezom izmedu njih.Eksplicitno su odredene matrice transformacije polazne matrice na matricu u odgovarajućoj formi.Neke teoreme su razmatrane sa više aspekata.