Solving Differential Equations with Evolutionary Algorithms
Chaquet Ulldemolins, José María · 2015
Una gran cantidad de leyes fundamentales de Fisica y Quimica se formulan mediante ecuaciones diferenciales (EDs), las cuales son ademas utiles a la hora de modelizar diferentes problemas en disciplinas tales como Biologia, Economia o Ingenieria. Algunas EDs admiten soluciones cerradas o exactas. Sin embargo, la gran mayoria solo pueden resolverse de forma aproximada. Existen en la literatura gran cantidad de metodos para encontrar dichas aproximaciones. Los mas extendidos son los denominados metodos numericos. En la presente tesis nos centraremos en otro tipo de metodos no estandar, llamados por algunos autores metodos heuristicos. En este trabajo se expone un estudio de las algoritmos heuristicos presentes en la literatura para resolver EDs. En este tipo de metodos, el problema original (resolver una ED) se transforma en un nuevo problema de optimizacion. El nuevo problema conlleva encontrar una funcion, solucion de la ED, que minimiza una funcion de coste construida con las condiciones de contorno y con la propia ED. Para resolver el nuevo problema, las soluciones candidatas se pueden expresar mediante una base funcional, kernels parametricos o mediante expresiones matematicas genericas. La busqueda de la solucion optima al problema se realiza mediante algoritmos evolutivos. Las principales contribuciones de la presente tesis se pueden agrupar en dos ideas basicas. Por un lado, se realizan varios estudios para determinar el modo optimo de representar las soluciones candidatas. Por otro lado, se expone cual es el algoritmo evolutivo mas eficiente para ajustar los parametros que expresan la solucion. Los algoritmos expuestos tratan de ser ademas genericos: son capaces de resolver, manteniendo los parametros de control, una gran variedad de EDs, tales como ecuaciones ordinarias (lineales y no lineales), ecuaciones en derivadas parciales y sistemas de ecuaciones. Para estudiar el comportamiento de los algoritmos propuestos, se han aplicado a un conjunto de 32 EDs extraidas de la literatura. Tambien se presenta una comparacion con otros metodos heuristicos y numericos. Se observa un buen comportamiento de los algoritmos propuestos, las EDs se han resuelto correctamente alcanzando resultados competitivos con menor coste computacional comparado con otros metodos heuristicos. Los metodos numericos son eficientes, maduros y capaces de resolver la mayoria de los problemas reales. Sin embargo, en cuanto el problema de resolver una ecuacion diferencial se transforma en un problema de optimizacion, los metodos propuestos cuentan con propiedades interesantes (metodos no basados en malla, solucion simbolica, mismos algoritmos para diferentes familias de ecuaciones, etc) que pueden resultar utiles en este campo de conocimiento. Por otro lado y desde un punto de vista general, las principales desventajas de los metodos evolutivos son que el nivel de convergencia no esta garantizado y el mayor coste computacional por usar una estrategia poblacional.