Guarding problems and geometric split trees
James A. King · eScholarship@McGill (McGill) · 2011
Beaucoup de problèmes géométriques sont intrinsèquement liés à la question de la division ou classification des points. Nous étudions deux familles de problèmes dans deux branches distinctes de recherche. Les problèmes de surveillance sont motivés par la question de la surveillance d'une région avec des caméras de sécurité ou d'éclairage avec des feux. Ces problèmes ont été étudiés depuis des décennies, mais il y a deux problèmes importants dont la complexité n'est pas complètement élucidée. Tout d'abord, nous étudions le problème de surveiller des polygones simples. Ce problème est connu pour être NP-complet, mais son approximabilité n'est pas connue. Deuxièmement, nous étudions la complexité de surveiller des chaînes monotones, aussi connues comme terrains en dimension 1,5. Comprendre l'interaction des polygones de visibilité et la façon dont ils divisent les ensembles de points est crucial pour l'étude de ces problèmes. Nous résoudrons un problème important ouvert en prouvant que surveiller les terrains est fortement NP-complet. Nous présentons également un algorithme d'approximation pour la surveillance des polygones simples avec des gardes sur le périmètre. Ce nouvel algorithme améliore l'état de l'art.Un arbre de division géométrique est une structure de données pour stocker des ensembles de points qui divise de manière récursive l'espace, et aussi les données, d'une certaine manière aléatoire. Le compréhension de la répartition de la structure d'un tel arbre est une question de compréhension des répartitions des divisions. Nous étudions les répartitions associées à plusieurs méthodes de division naturelles. Nous faisons de nouvelles connexions entre un problème important en géométrie discrète et des distributions de probabilité naturelles. Dans le but d'analyser les arbres de division géométriques en fonction de leurs divisions, nous introduisons un modèle d'arbre aléatoire qui est général tout en permettant des comparaisons puissants avec les arbres aléatoires dans des modèles plus restreints.