Persistence in discrete Morse theory
Ulrich Bauer · 2011
Das Ziel dieser Arbeit ist die Zusammenführung zweier Theorien bezüglich der kritischen Punkte einer reellwertigen Funktion und deren Verbindung zur Topologie: diskrete Morse-Theorie und persistente Homologie. Während die Ziele und grundlegenden Techniken sich unterscheiden, gibt es gewisse Ähnlichkeiten zwischen beiden Theorien. In bestimmten Fällen lassen sich die beiden Stränge zusammenführen und neue Einsichten erzielen, die über die jeweiligen einzelnen Theorien hinausgehen.Die diskrete Morse-Theorie liefert kombinatorische Versionen verschiedener Grundbegriffe der klassischen Morse-Theorie, wie diskrete Morse-Funktionen, diskrete Gradientenfelder, kritische Punkte, sowie einen Satz über die Auslöschung kritischer Punkte eines Vektorfelds. Aufgrund ihrer Einfachheit erhält sie nicht nur die Intuition der klassischen Theorie, sondern geht in einem gewissen Sinne darüber hinaus, indem sie explizite und kanonische Konstruktionen erlaubt, die in der glatten Theorie wesentlich schwieriger umzusetzen wären.Persistente Homologie quantifiziert topologische Merkmale einer Funktion. Sie bestimmt das Entstehen und Verschwinden von Homologieklassen an kritischen Punkten, identifiziert Paare kritischer Punkte (Persistenzpaare) und liefert einen quantitativen Begriff von deren Stabilität (Persistenz).Die (diskrete) Morse-Theorie trifft Aussagen über den Homotopietyp der Subniveaumengen einer Funktion, wohingegen Persistenz deren Homologie betrachtet. Während Homologie eine Invariante unter Homotopieäquivalenz ist, trifft die Umkehrung nicht zu: nicht jede Abbildung, die einen Isomorphismus der Homologie induziert, ist auch eine Homotopieäquivalenz. In dieser Arbeit wird eine Verbindung zwischen beiden Theorien geschaffen, die dazu verwendet wird, Probleme zu lösen, die von jeder einzelnen der beiden Theorien nicht direkt zu erreichen sind. Insbesondere wird das Problem gelöst, innerhalb einer bestimmten Toleranz zu einer gegebenen Eingabefunktion auf einer Fläche die Anzahl kritischer Punkte zu minimieren.