Fast Iterative Methods for The Incompressible Navier-Stokes Equations
M. ur Rehman · Data Archiving and Networked Services (DANS) · 2010
Efficient numerical solution of the incompressible Navier-Stokes equations is a hot topic of research in the scientific computing community.In this thesis efficient linear solvers for these equations are developed.The finite element discretization of the incompressible Navier-Stokes equations gives rise to a nonlinear system.This system is linearized with Picard or Newton type methods.Due to the incompressibility equation the resulting linear equations are of saddle point type.Saddle point problems also occur in many other engineering fields.They pose extra problems for the solvers and therefore efficient solution of such systems of equations forms an important research activity.In this thesis we discuss preconditioned Krylov methods, that are developed for saddle point problems.The most direct and easy applicable strategy to solve linear system of equations arising from Navier-Stokes is to apply preconditioners of ILU-type.This type of preconditioners is based on the coefficients of the matrix but not on knowledge of the system.In general, without precautions, they fail for saddle point problems.To overcome this problem, pivoting or renumbering of nodal points is necessary.Direct methods also suffer from the same problem, i.e zeros may arise at the main diagonal.Renumbering is used to reduce the profile or bandwidth of the matrix.To avoid zero pivots it is necessary to use extra information of the discretized equations.First we start with a suitable node renumbering scheme like Sloan or Cuthill-McKee to get an optimal profile.Thereafter unknowns are reordered per level such that zero pivots move to the end of each level.In this way unknowns are intermixed and the matrix can be considered as a sequence of smaller subsystems.This provides a reasonable efficient preconditioner if combined with ILU.We call it Saddle point ILU (SILU).A completely different strategy is based on segregation of velocity and pressure.This is done by so-called block preconditioners.These preconditioners are all based on SIMPLE or Uzawa type schemes.The idea is to solve the coupled system with a Krylov method and to accelerate the convergence by the block preconditioners.The expensive steps in the preconditioning is the solution of the velocity and pressure subsystem.The subsystems may be solved by direct methods, Krylov methods or multigrid.We employ SIMPLE-type preconditioners that are based on the classical iii Samenvatting Het efficiënt numeriek oplossen van de incompressibele Navier-Stokes vergelijkingen is een hot topic research onderwerp in de scientific computing gemeenschap.In dit proefschrift ontwikkelen we efficiënte lineaire solvers voor deze vergelijkingen.De eindige elementen discretisatie van de incompressibele Navier-Stokes vergelijkingen resulteert in een niet-lineair systeem.Dit systeem wordt gelineariseerd met Picard of Newton methodes.Vanwege de incompressibiliteitsconditie zijn de resulterende lineaire vergelijkingen van het zadelpunt type.Zadelpuntsproblemen treden ook op in veel andere technische vraagstukken.Zij veroorzaken extra problemen in de solvers en daarom vormt het efficiënt oplossen van zulke vergelijkingen een belangrijke research activiteit.In dit proefschrift bediscussiëren wij gepreconditioneerde Krylov methoden welke speciaal voor zadelpuntsproblemen zijn ontwikkeld.De meest directe en eenvoudigste strategie om lineaire stelsels vergelijkingen, welke ontstaan door discretisatie van Navier-Stokes, op te lossen is om preconditioners van het ILU-type toe te passen.Dit type preconditioners is gebaseerd op de coëfficiënten van de matrix, zonder kennis van het onderliggende probleem.Zonder bijzondere voorzorgsmaatregelen falen zij in het geval van zadelpuntsproblemen.Teneinde dit te voorkomen, is het noodzakelijk om te pivoteren, dan wel knooppunten te hernummeren.Ook directe methodes hebben last van hetzelfde euvel, namelijk er komen nullen voor op de hoofddiagonaal.Hernummeren van knooppunten wordt toegepast om het profiel of de bandbreedte van de matrix te reduceren.Als we willen voorkomen dat pivots nul worden, is het nodig extra informatie van de gediscretiseerde vergelijkingen te gebruiken.Teneinde een optimaal profiel te krijgen, starten we met een geschikt hernummeringsalgorithme zoals Sloan of Cuthill-McKee.Daarna worden de onbekenden per level herordend, zodat pivots die nul zijn naar het einde van ieder level worden verplaatst.Op deze manier worden de onbekenden verwisseld en kan de matrix opgevat worden als een stelsel van kleinere subsystemen.In combinatie met ILU ontstaat een redelijk efficiënte preconditioner, die wij Saddle point ILU (SILU) noemen.Een geheel andere strategie is gebaseerd op de scheiding van snelheid en druk onbekenden.Dit wordt gedaan met behulp van zogenaamde blokpreconditioners. v vi Al deze preconditioners zijn gebaseerd op SIMPLE dan wel Uzawa type schema's.Het idee is om het gekoppelde systeem op te lossen met een Krylov methode en de convergentie te versnellen met behulp van de blokpreconditioners.Het oplossen van de substelsels van de snelheid en druk vormt het rekenintensieve deel van de preconditionering.De substelsels kunnen worden opgelost met behulp van directe methodes, Krylov methodes of multirooster.Wij passen SIMPLE-achtige preconditioners toe, gebaseerd op de klassieke SIMPLE methode van Patankar.De convergentie van SIMPLE hangt af van relaxatieparameters die door trial-and-error gekozen moeten worden.Omdat onze preconditioner is gebaseerd op slechts één stap van een SIM-PLE iteratie, is relaxatie niet nodig.We suggeren verscheidene verbeteringen van de SIMPLE preconditioner, waarvan één, MSIMPLER, erg successvol blijkt te zijn.Om de preconditioners te testen gebruiken we twee klassieke benchmark problemen, te weten het driven cavity problem en de backward facing step, zowel in 2D als 3D.We vergelijken onze preconditioners (SILU en MSIMPLER) met de populaire LSC preconditioner, welke in de literatuur als een van de meest efficiënte preconditioners wordt aangemerkt.SILU wordt gecombineerd met Bi-CGSTAB(ℓ) en ook met IDR(s), een nieuw algorithme gebaseerd op het Induced Dimension Reduction (IDR) algorithme van Sonneveld (1980).In die gevallen waar Bi-CGSTAB(ℓ) slecht convergeert, blijkt IDR(s) in het algemeen veel beter te presteren.Fysische problemen met langzaam stromende materialen, zoals bijvoorbeeld mantel convectie in het aardoppervlak, kunnen gemodelleerd worden met de Stokes vergelijkingen met variabele viscositeit.In dat geval zijn speciale preconditioners vereist.In dit proefschrift presenteren we enkele nieuwe preconditioners, alle gebaseerd op de approximatie van de Schur complement matrix door de massamatrix van de druk.Voor variabele viscositeits problemen is het noodzakelijk speciale aandacht te besteden aan schaling en afbreekcriteria.De nieuwe methodes worden getest op verschillende probleemklassen met hun specifiek viscositeitsgedrag.Zij blijken onafhankelijk te zijn van roosterafmeting en viscositeitsvariatie.I would like to thank my supervisor, Prof. Dr. Ir. Kees Vuik and co-supervisor, Ir.Guus Segal for their supervision and support during my PhD.Their professional help provided a jump start to my PhD-research.It all started by their introducing some nice pointers to the literature.I would specifically like to mention the IFISS package, Benzi's work on saddle point problems that was published in 2005 (start year of this program), Kees Vuik's work on SIMPLE-type preconditioners, and the SEPRAN package.I learnt a lot of new things from them, and regular professional meetings with them helped me in identifying areas having research potential.I found them ever-welcoming in helping me solve my problems, both technical and social.I am very grateful to them for their help, and would therefore like to take this opportunity to express it formally.As I consider my doctoral thesis a big achievement in my life, I would also like to mention some people who had a share in making it happen.First of all, many thanks, sincere prayers, and a lot of love and gratitude to my parents for their gross untiring efforts to educate us.Their kindness and sympathy can neither be expressed, nor can be amply thanked in words.They took good care of my family when I was estranged from them at the start of my PhD, until the time when their re-union with me became possible.I would also like to thank all my close and distant family who prayed for my success and missed me on special occasions.Many thanks to my wife's family for their equal support in making us comfortable here.My late uncle Ahmed Jan, had a jolly personality through which he taught me how to see the lighter side of life in days of gloom.Many prayers for him, his lessons about life would stay kindled in my heart and mind always.In the Netherlands, after a hard first year, my house turned into a home by the arrival of my wife, daughter and son.I thank my wife for managing all the activities that would have hindered my progress.I revelled in their company and I am sure we will remember this period of our life very much.We all spent a cherishable time together in the Netherlands.There was a lot of social support and community life through the acquaintance of many Pakistani friends and families that I came to know during my Dutch stay.I am vii viii happy that I found many friends.I thank them all for sharing very nice times with me and my family.We enjoyed parties including Iftar and Eid gatherings.My weekends were usually engaged by some of my cricketer friends (both Indians and Pakistanis).Thanks to all of them.I also thank my friends in Germany with whom I shared very fruitful time during my visits to Germany.In the department, I would like to thank Coen Leentvaar, my ex-office mate, who helped me in a lot of diverse issues, specially in translating Dutch letters that I received from time to time from various organizations.I also thank Hisham bin Zubair for helping me out in many matters during my PhD.Besid