Semi-strong convergence of sequences satisfying a variational inequality
Marc Briane, Gabriel Mokobodzki, François Murat · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2006
In this paper we study the properties of any sequence (u_{n})_{n⩾1} weakly converging to a nonnegative function u in W_{0}^{1,p}(\Omega ) , p > 1 , and satisfying a variational inequality of type −\mathrm{div}(a_{n}( \cdot ,\mathrm{∇}u_{n}))⩾f_{n} , where (a_{n})_{n⩾1} is a suitable sequence of monotone operators and (f_{n})_{n⩾1} is any strongly convergent sequence in the dual space W^{−1,p^{′}}(\Omega ) . We prove that the sequence (u_{n}−(1−ɛ)u)^{−} strongly converges to 0 in W_{0}^{1,p}(\Omega ) for any ɛ \in (0,1) . We show by a counter-example that the result does not hold true if ɛ = 0 . A remarkable corollary of these strong ɛ -convergences is that the sequence (u_{n})_{n⩾1} satisfies, up to a subsequence, a kind of semi-strong convergence: (u_{n})_{n⩾1} can be bounded from below by a sequence which converges to the same limit u but strongly in W_{0}^{1,p}(\Omega ) . We also give an example of a nonnegative weakly convergent sequence which does not satisfy this semi-strong convergence property and hence cannot satisfy any variational inequality of the previous type. Finally, in the linear case of a sequence of highly-oscillating matrices, we improve the strong ɛ -convergences by replacing the arbitrary small constant ɛ > 0 by a sequence (ɛ_{n})_{n⩾1} converging to 0. Résumé Dans cet article, on étudie les propriétés de toute suite (u_{n})_{n⩾1} qui converge faiblement dans W_{0}^{1,p}(\Omega ) , p > 1 , vers une fonction positive u et qui satisfait une inégalité variationnelle du type −\mathrm{div}(a_{n}( \cdot ,\mathrm{∇}u_{n}))⩾f_{n} , où (a_{n})_{n⩾1} est une suite convenable d'opérateurs monotones et où (f_{n})_{n⩾1} est une suite fortement convergente dans l'espace dual W^{−1,p^{′}}(\Omega ) . On montre que, pour tout ɛ \in ]0,1[ , la suite (u_{n}−(1−ɛ)u)^{−} converge fortement vers 0 dans W_{0}^{1,p}(\Omega ) , et, à l'aide d'un contre-exemple, que cette convergence n'est pas en général vraie lorsque ɛ = 0 . Un corollaire remarquable de ces ɛ -convergences fortes est que la suite (u_{n})_{n⩾1} satisfait, à une sous-suite près, une sorte de semi-convergence forte : la suite (u_{n})_{n⩾1} peut en effet être minorée par une suite qui converge fortement dans W_{0}^{1,p}(\Omega ) vers la même limite u . On explicite aussi un exemple d'une suite positive et faiblement convergente qui ne vérifie pas la semi-convergence forte et qui par conséquent, n'est solution d'aucune inéquation variationnelle du type précédent. Enfin, dans le cas linéaire d'une suite fortement oscillante de matrices, on améliore la ɛ -convergence en remplaçant la constante arbitraire ɛ > 0 par une suite (ɛ_{n})_{n⩾1} convergeant vers 0.