Relaxation of convex functionals: the gap problem
E. Acerbi, Guy Bouchitté, Irene Fonseca · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2003
It is shown that the relaxed energy \mathcal{F}\left(u,A\right): = \inf \Big\{ \lim\!\! \inf_{n\rightarrow + \infty }\!\int \limits_{A}\! f(x, abla u_{n})dx:\{u_{n}\} \subset W_{\text{loc}}^{1,\beta }(A;\mathbb{R}^{d}),\, u_{n}\!\rightarrow\! u \text{ in }L^{1}(A;\mathbb{R}^{d}) \Big\}, admits the representation \mathcal{F}\left(u,A\right) = \int \limits_{A}f\left(x, abla u\right)dx + \mu _{s}\left(u,A\right), where f is a convex, Carathéodory integrand satisfying a nonstandard “ α–β ” growth hypothesis, β\in [α,Nα/(N-1)) . Sufficient conditions guaranteeing that μ_s(u,·)=0 are discussed. An example asserting that this representation may fail in the quasiconvex case is provided. Résumé Nous montrons que l’énergie relaxée \mathcal{F}\left(u,A\right): = \inf \Big\{ \lim\!\! \inf_{n\rightarrow + \infty }\!\int \limits_{A}\! f(x, abla u_{n})dx:\{u_{n}\} \subset W_{\text{loc}}^{1,\beta }(A;\mathbb{R}^{d}),\, u_{n}\!\rightarrow\! u \text{ in }L^{1}(A;\mathbb{R}^{d}) \Big\}, admet la représentation intégrale \mathcal{F}\left(u,A\right) = \int \limits_{A}f\left(x, abla u\right)dx + \mu _{s}\left(u,A\right), lorsque f est un intégrande convexe de Carathéodory vérifiant une condition de croissance non standard de type “ α–β ” avec β\in [α,Nα/(N−1)) . Des conditions suffisantes assurant que μ_s(u,·)=0 sont proposées ainsi qu’un exemple montrant que la représentation obtenue ne s’applique pas au cas quasiconvexe.