Asymptotic behaviour of solutions of some semilinear parabolic problems
Laura Herraiz · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 1999
We consider the Cauchy problem: \tag{0.1} \begin{align} &u_{t} - \Delta u + u^{p} = 0 && \text{ for }x \in ℝ^{N},t > 0, \\ \tag{0.2} & u\left(x,0\right) = u_{o}\left(x\right) && \text{ for }x \in ℝ^{N}. \end{align} Here p > 1 , N≥ 1 and u_0(x) is a continuous, nonnegative and bounded function such that: \tag{0.3} u_0\left(x\right) \sim A\left|x\right|^{ - \alpha },\text{ as }\left|x\right|\rightarrow \infty , for some A > 0 and α > 0 . In this paper we discuss the asymptotic behaviour of solutions to (0.1)–(0.3) in terms of the various values of the parameters p, N, α and A . A common pattern that emerges from our analysis is the existence of an external zone where u(x,t) \sim u_0(x) and one (or several) internal regions, where the influence of diffusion and absorption is most strongly felt. We present a complete classification of the size of these regions, as well as that of the stabilization profiles that unfold therein, in terms of the aforementioned parameters. Résumé Nous considérons le problème de Cauchy: \begin{align} \tag{0.1} &u_{t} - \Delta u + u^{p} = 0 && \text{ pour }x \in ℝ^{N}, & t > 0, \\ \tag{0.2} &u\left(x,0\right) = u_{o}\left(x\right) && \text{ pour }x \in ℝ^{N}. \end{align} Où p > 1 , N ≥ 1 et u_0(x) est une fonction continue, nonnégative et bornée telle que: \tag{0.3} u_{O}\left(x\right) \sim A\left|x\right|^{ - \alpha }, \text{ quand }\left|x\right|\rightarrow \infty , pour A > 0 et α > 0 . Dans cette note nous étudions le comportement asymptotique des solutions de (0.1)–(0.3) dépendant des valeurs des paramètres p,N, α et A . Nous prouvons l’existence d’une zone extérieure où u(x, t) \sim u_0(x) et une (ou plusieurs) régions intérieures où l’influence de la diffusion et l’absorption est très forte. Nous présentons une classification complète de l’étendue de ces régions et des profils des solutions dépendant des paramètres.