Reifenberg parameterizations for sets with holes
Guy David, Tatiana Toro · Memoirs of the American Mathematical Society · 2011
We extend the proof of Reifenberg’s Topological Disk Theorem to allow the case of sets with holes, and give sufficient conditions on a set E E for the existence of a bi-Lipschitz parameterization of E E by a d d -dimensional plane or smooth manifold. Such a condition is expressed in terms of square summability for the P. Jones numbers β 1 ( x , r ) \beta _1(x,r) . In particular, it applies in the locally Ahlfors-regular case to provide very big pieces of bi-Lipschitz images of R d \mathbb R^d . Résumé. On généralise la démonstration du théorème du disque topologique de Reifenberg pour inclure le cas d’ensembles ayant des trous, et on donne des conditions suffisantes sur l’ensemble E E pour l’existence de paramétrage de E E par un plan affine ou une variété de dimension d d . L’une de ces conditions porte sur la sommabilité des carrés des nombres de P. Jones β 1 ( x , r ) \beta _1(x,r) , et s’applique en particulier aux ensembles localement Ahlfors-réguliers et à l’existence de très grand morceaux d’images bi-Lipschitziennes de R d \mathbb R^d .