Attractors of the reaction-diffusion systems with rapidly oscillating coefficients and their homogenization
Messoud A. Efendiev, Sergey Vital'evich Zelik · Annales de l Institut Henri Poincaré C Analyse Non Linéaire · 2002
The following reaction-diffusion system in spatially non-homogeneous almost-periodic media is considered in a bounded domain \Omega \subset \mathbb{R}^{3} : \partial _{t}u = A_{ɛ}u - f\left(u\right) + g, \qquad u\mid_{\partial \Omega } = 0. \tag{1} Here u=(u^1,…,u^k) is an unknown vector-valued function, f is a given nonlinear interaction function and the second order elliptic operator A_ε has the following structure: (A_{ɛ}u)^l = \sum \limits_{i,j = 1}^{3}\partial_{x_i}(a_{ij}^{l}(ɛ^{ - 1}x)\partial _{x_j}u^{l}(x)), \qquad ɛ \ll 1,\ l = 1,2,3, where a_{ij}^l(y) are given almost-periodic functions. We prove that, under natural assumptions on the nonlinear term f(u) , the longtime behavior of solutions of (1) can be described in terms of the global attractor \mathcal{A}^{ɛ} of the associated dynamical system and that the attractors \mathcal{A}^{ɛ} , 0<ε<ε_0⪡1 , converge to the attractor \mathcal{A}^{0} of the homogenized problem (1) as ε→0 . Moreover, in the particular case of periodic media, we give explicit estimates for the distance between the non-homogenized \mathcal{A}^{ɛ} and the homogenized \mathcal{A}^{0} attractors in terms of the parameter ε . Résumé Nous considérons le systéme de réaction-diffusion suivant dans un milieu non homogéne presque périodique en espace dans un domaine borné \Omega \subset \mathbb{R}^{3} : \partial _{t}u = A_{ɛ}u - f\left(u\right) + g, \qquad u\mid_{\partial \Omega } = 0. \tag{1} Ici, u=(u^1,…,u^k) est une fonction vectorielle inconnue, f est une fonction d’interaction nonlinéaire donnée et l’opérateur elliptique du second ordre A_ε a la structure suivante : (A_{ɛ}u)^l = \sum \limits_{i,j = 1}^{3}\partial_{x_i}(a_{ij}^{l}(ɛ^{ - 1}x)\partial _{x_j}u^{l}(x)), \qquad ɛ \ll 1,\ l = 1,2,3, oú les a_{ij}^l(y) sont des fonctions presque périodiques données. Nous prouvons que, sous des hypothéses naturelles sur le term nonlinéaire f(u) , le comportement asymptotique des solutions de (1) peut etre décrit par l’attracteur global \mathcal{A}^{ɛ} du systéme dynamique associé et que les attracteurs \mathcal{A}^{ɛ} , 0<ε<ε_0⪡1 , convergent vers l’attracteur \mathcal{A}^{0} du probléme homogénéisé de (1) lorsque ε→0 . De pluis, dans le cas particulier d’un milieu périodique, nous donnons des estimations explicites de la distance entre les attracteur non homogénéisés \mathcal{A}^{ɛ} et l’attracteur homogénéisé \mathcal{A}^{0} en fonction du paramétre ε .